Finite Mathematik Beispiele

$(\frac{3}{4} r - \frac{2}{3} s) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $r$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2}{3} s) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $s$ und $\frac{2}{3}$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{s \cdot 2}{3}) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Schritt 1.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $s$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $r$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{1}{3} s)$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $s$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

Schritt 2

Multipliziere $(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 r}{4} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3}) - \frac{2 s}{3} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{3 r}{4}$ mit $\frac{5 r}{4}$ .

$\frac{3 r (5 r)}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15 r \cdot r}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.1.3

Potenziere $r$ mit $1$ .

$\frac{15 (r^{1} r)}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.1.4

Potenziere $r$ mit $1$ .

$\frac{15 (r^{1} r^{1})}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 r^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 r$ heraus.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 (r)}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r}{4} s - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere $\frac{r}{4}$ und $s$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 s}{3}$ in den Zähler.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 s$ heraus.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{2 (2)} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{2 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- s}{3} \cdot \frac{5 r}{2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $\frac{- s}{3}$ mit $\frac{5 r}{2}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- s (5 r)}{3 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 5 s r}{3 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 5 s r}{6} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Schritt 3.1.9

Multipliziere $- \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$ .

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Schritt 3.1.9.1

Mutltipliziere $\frac{s}{3}$ mit $\frac{2 s}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{s (2 s)}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.9.2

Potenziere $s$ mit $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 (s^{1} s)}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.9.3

Potenziere $s$ mit $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 (s^{1} s^{1})}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{2}}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.1.9.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\frac{5 s r}{6}$ von $\frac{r s}{4}$ .

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Schritt 3.2.1

Bewege $s$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 r s}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.2.2

Um $\frac{r s}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 r s}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.2.3

Um $- \frac{5 r s}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{r s}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{5 r s}{6}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.2.4.4

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.3

Um $\frac{15 r^{2}}{16}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} \cdot \frac{3}{3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.4

Um $\frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} \cdot \frac{3}{3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $48$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $\frac{15 r^{2}}{16}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{16 \cdot 3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.5.3

Mutltipliziere $\frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{(r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{12 \cdot 4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{(r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{15 r^{2} \cdot 3 + (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.7

Stelle die Terme um.

$\frac{3 \cdot 15 r^{2} + 4 (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2)}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.8

Vereinige $\frac{3 \cdot 15 r^{2} + 4 (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2)}{48}$ und $- \frac{2 s^{2}}{9}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 3.8.1

Stelle $3 \cdot 15 r^{2}$ und $4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s)$ um.

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.8.2

Um $\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Schritt 3.8.3

Um $- \frac{2 s^{2}}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 3.8.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $144$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.8.4.1

Mutltipliziere $\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{48 \cdot 3} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 3.8.4.2

Mutltipliziere $48$ mit $3$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Schritt 3.8.4.3

Mutltipliziere $\frac{2 s^{2}}{9}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2} \cdot 16}{9 \cdot 16}$

Schritt 3.8.4.4

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Schritt 3.8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{(4 (3 r s - 10 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $10 r s$ von $3 r s$ .

$\frac{(4 (- 7 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $4$ .

$\frac{(- 28 (r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$\frac{(- 28 r s + 45 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 28 r s \cdot 3 + 45 r^{2} \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 28$ .

$\frac{- 84 r s + 45 r^{2} \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $3$ mit $45$ .

$\frac{- 84 r s + 135 r^{2} - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $16$ mit $- 2$ .

$\frac{- 84 r s + 135 r^{2} - 32 s^{2}}{144}$

Schritt 4.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 135 \cdot - 32 = - 4320$ und deren Summe gleich $b = - 84$ ist.

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Schritt 4.6.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{135 r^{2} - 32 s^{2} - 84 r s}{144}$

Schritt 4.6.1.2

Stelle $- 32 s^{2}$ und $- 84 r s$ um.

$\frac{135 r^{2} - 84 r s - 32 s^{2}}{144}$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere $- 84$ aus $- 84 r s$ heraus.

$\frac{135 r^{2} - 84 (r s) - 32 s^{2}}{144}$

Schritt 4.6.1.4

Schreibe $- 84$ um als $36$ plus $- 120$

$\frac{135 r^{2} + (36 - 120) (r s) - 32 s^{2}}{144}$

Schritt 4.6.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{135 r^{2} + 36 (r s) - 120 (r s) - 32 s^{2}}{144}$

Schritt 4.6.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{135 r^{2} + 36 r s - 120 r s - 32 s^{2}}{144}$

Schritt 4.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(135 r^{2} + 36 r s) - 120 r s - 32 s^{2}}{144}$

Schritt 4.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{9 r (15 r + 4 s) - 8 s (15 r + 4 s)}{144}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $15 r + 4 s$ .

$\frac{(15 r + 4 s) (9 r - 8 s)}{144}$