Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x^{2} + 12 x + 20}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{6 x^{3} - 9 x^{2}}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 12 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $12$ ist.

$2, 10$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{4 x^{2} - 9} \cdot \frac{6 x^{3} - 9 x^{2}}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{{(2 x)}^{2} - 9} \cdot \frac{6 x^{3} - 9 x^{2}}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{{(2 x)}^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{6 x^{3} - 9 x^{2}}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{6 x^{3} - 9 x^{2}}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $6 x^{3} - 9 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{3 x^{2} (2 x) - 9 x^{2}}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{3 x^{2} (2 x) + 3 x^{2} (- 3)}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{2} (2 x) + 3 x^{2} (- 3)$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{3 x^{2} (2 x - 3)}{x^{3} + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} + 10 x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{3 x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} x + 10 x^{2}} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $10 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{3 x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} x + x^{2} \cdot 10} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x + x^{2} \cdot 10$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x + 10)}{(2 x + 3) (2 x - 3)} \cdot \frac{3 x^{2} (2 x - 3)}{x^{2} (x + 10)} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 3.3

Kombinieren.

$\frac{(x + 2) (x + 10) (3 x^{2} (2 x - 3))}{(2 x + 3) (2 x - 3) (x^{2} (x + 10))} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 3$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2 x + 3$ aus $(2 x + 3) (2 x - 3) x^{2} (x + 10)$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x + 10) \cdot 3 x^{2} (2 x - 3)}{(2 x + 3) ((2 x - 3) x^{2} (x + 10))} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) (x + 10) \cdot 3 x^{2} (2 x - 3)}{(2 x + 3) ((2 x - 3) x^{2} (x + 10))} \cdot (2 x + 3)$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 2) (x + 10) \cdot 3 x^{2} (2 x - 3)}{(2 x - 3) x^{2} (x + 10)}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 10$ .

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) (x + 10) \cdot 3 x^{2} (2 x - 3)}{(2 x - 3) x^{2} (x + 10)}$

Schritt 3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x^{2} (2 x - 3)}{(2 x - 3) x^{2}}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 x^{2} (2 x - 3)}{(2 x - 3) x^{2}}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x - 3$ .

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Schritt 3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) \cdot 3 (2 x - 3)}{2 x - 3}$

Schritt 3.7.2

Dividiere $(x + 2) \cdot 3$ durch $1$ .

$(x + 2) \cdot 3$

Schritt 3.8

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot 3 + 2 \cdot 3$

Schritt 3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.9.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 \cdot x + 2 \cdot 3$

Schritt 3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x + 6$