Finite Mathematik Beispiele

∣ ∣ ∣ \frac{0.5}{4 + 3 i} ∣ ∣ ∣

$| \frac{0.5}{4 + 3 i} |$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und den Nenner von

\frac{0.5}{4 + 3 i}

$\frac{0.5}{4 + 3 i}$ mit der Konjugierten von

4 + 3 i

$4 + 3 i$ , um den Nenner reell zu machen.

∣ ∣ ∣ \frac{0.5}{4 + 3 i} \cdot \frac{4 - 3 i}{4 - 3 i} ∣ ∣ ∣

$| \frac{0.5}{4 + 3 i} \cdot \frac{4 - 3 i}{4 - 3 i} |$

Schritt 2

Multipliziere.

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Schritt 2.1

Kombinieren.

∣ ∣ ∣ \frac{0.5 (4 - 3 i)}{(4 + 3 i) (4 - 3 i)} ∣ ∣ ∣

$| \frac{0.5 (4 - 3 i)}{(4 + 3 i) (4 - 3 i)} |$

Schritt 2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

∣ ∣ ∣ \frac{0.5 \cdot 4 + 0.5 (- 3 i)}{(4 + 3 i) (4 - 3 i)} ∣ ∣ ∣

$| \frac{0.5 \cdot 4 + 0.5 (- 3 i)}{(4 + 3 i) (4 - 3 i)} |$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere

0.5

$0.5$ mit

4

$4$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 + 0.5 (- 3 i)}{(4 + 3 i) (4 - 3 i)} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 + 0.5 (- 3 i)}{(4 + 3 i) (4 - 3 i)} |$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

0.5

$0.5$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{(4 + 3 i) (4 - 3 i)} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{(4 + 3 i) (4 - 3 i)} |$

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{(4 + 3 i) (4 - 3 i)} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{(4 + 3 i) (4 - 3 i)} |$

Schritt 2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere

(4 + 3 i) (4 - 3 i)

$(4 + 3 i) (4 - 3 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{4 (4 - 3 i) + 3 i (4 - 3 i)} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{4 (4 - 3 i) + 3 i (4 - 3 i)} |$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) + 3 i (4 - 3 i)} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) + 3 i (4 - 3 i)} |$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 3 i)} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 3 i)} |$

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 3 i)} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{4 \cdot 4 + 4 (- 3 i) + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 3 i)} |$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere

4

$4$ mit

4

$4$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 + 4 (- 3 i) + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 3 i)} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 + 4 (- 3 i) + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 3 i)} |$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

4

$4$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 3 i)} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 3 i \cdot 4 + 3 i (- 3 i)} |$

Schritt 2.3.2.3

Mutltipliziere

4

$4$ mit

3

$3$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 12 i + 3 i (- 3 i)} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 12 i + 3 i (- 3 i)} |$

Schritt 2.3.2.4

Mutltipliziere

- 3

$- 3$ mit

3

$3$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 i i} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 i i} |$

Schritt 2.3.2.5

Potenziere

i

$i$ mit

1

$1$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 (i^{1} i)} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 (i^{1} i)} |$

Schritt 2.3.2.6

Potenziere

i

$i$ mit

1

$1$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 (i^{1} i^{1})} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 (i^{1} i^{1})} |$

Schritt 2.3.2.7

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 i^{1 + 1}} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 i^{1 + 1}} |$

Schritt 2.3.2.8

Addiere

1

$1$ und

1

$1$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 i^{2}} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 - 12 i + 12 i - 9 i^{2}} |$

Schritt 2.3.2.9

Addiere

- 12 i

$- 12 i$ und

12 i

$12 i$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 + 0 - 9 i^{2}} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 + 0 - 9 i^{2}} |$

Schritt 2.3.2.10

Addiere

16

$16$ und

0

$0$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 - 9 i^{2}} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 - 9 i^{2}} |$

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 - 9 i^{2}} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 - 9 i^{2}} |$

Schritt 2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe

i^{2}

$i^{2}$ als

- 1

$- 1$ um.

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 - 9 \cdot - 1} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 - 9 \cdot - 1} |$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere

- 9

$- 9$ mit

- 1

$- 1$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 + 9} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 + 9} |$

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{16 + 9} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{16 + 9} |$

Schritt 2.3.4

Addiere

16

$16$ und

9

$9$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{25} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{25} |$

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{25} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{25} |$

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{25} ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{25} |$

Schritt 3

Addiere

0

$0$ .

∣ ∣ ∣ \frac{2 - 1.5 i}{25} + 0 ∣ ∣ ∣

$| \frac{2 - 1.5 i}{25} + 0 |$

Schritt 4

Faktorisiere

i

$i$ aus

\frac{2 - 1.5 i}{25} + 0

$\frac{2 - 1.5 i}{25} + 0$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere

i

$i$ aus

\frac{2 - 1.5 i}{25}

$\frac{2 - 1.5 i}{25}$ heraus.

∣ ∣ ∣ i \frac{- 2 i - 1.5}{25} + 0 ∣ ∣ ∣

$| i \frac{- 2 i - 1.5}{25} + 0 |$

Schritt 4.2

Schreibe

0

$0$ als

- 1 (0)

$- 1 (0)$ um.

∣ ∣ ∣ i \frac{- 2 i - 1.5}{25} - 1 (0) ∣ ∣ ∣

$| i \frac{- 2 i - 1.5}{25} - 1 (0) |$

Schritt 4.3

Schreibe

- 1

$- 1$ als

i^{2}

$i^{2}$ um.

∣ ∣ ∣ i \frac{- 2 i - 1.5}{25} + i^{2} \cdot 0 ∣ ∣ ∣

$| i \frac{- 2 i - 1.5}{25} + i^{2} \cdot 0 |$

Schritt 4.4

Faktorisiere

i

$i$ aus

i^{2} \cdot 0

$i^{2} \cdot 0$ heraus.

∣ ∣ ∣ i \frac{- 2 i - 1.5}{25} + i (i \cdot 0) ∣ ∣ ∣

$| i \frac{- 2 i - 1.5}{25} + i (i \cdot 0) |$

Schritt 4.5

Stelle

i

$i$ und

0

$0$ um.

∣ ∣ ∣ i \frac{- 2 i - 1.5}{25} + i (0 i) ∣ ∣ ∣

$| i \frac{- 2 i - 1.5}{25} + i (0 i) |$

Schritt 4.6

Faktorisiere

i

$i$ aus

i \frac{- 2 i - 1.5}{25} + i (0 i)

$i \frac{- 2 i - 1.5}{25} + i (0 i)$ heraus.

∣ ∣ ∣ i (\frac{- 2 i - 1.5}{25} + 0 i) ∣ ∣ ∣

$| i (\frac{- 2 i - 1.5}{25} + 0 i) |$

Schritt 4.7

Stelle

i

$i$ und

\frac{- 2 i - 1.5}{25} + 0 i

$\frac{- 2 i - 1.5}{25} + 0 i$ um.

∣ ∣ ∣ (\frac{- 2 i - 1.5}{25} + 0 i) i ∣ ∣ ∣

$| (\frac{- 2 i - 1.5}{25} + 0 i) i |$

∣ ∣ ∣ (\frac{- 2 i - 1.5}{25} + 0 i) i ∣ ∣ ∣

$| (\frac{- 2 i - 1.5}{25} + 0 i) i |$

Schritt 5

Wende die Formel

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

$\sqrt{0^{2} + {(\frac{- 2 i - 1.5}{25} + 0 i)}^{2}}$

Schritt 6

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt

$0$ .

$\sqrt{0 + {(\frac{- 2 i - 1.5}{25} + 0 i)}^{2}}$

Schritt 7

Mutltipliziere

$0$ mit

$i$ .

$\sqrt{0 + {(\frac{- 2 i - 1.5}{25} + 0)}^{2}}$

Schritt 8

Addiere

$\frac{- 2 i - 1.5}{25}$ und

$0$ .

$\sqrt{0 + {(\frac{- 2 i - 1.5}{25})}^{2}}$

Schritt 9

Wende die Produktregel auf

$\frac{- 2 i - 1.5}{25}$ an.

$\sqrt{0 + \frac{{(- 2 i - 1.5)}^{2}}{25^{2}}}$

Schritt 10

Potenziere

$25$ mit

$2$ .

$\sqrt{0 + \frac{{(- 2 i - 1.5)}^{2}}{625}}$

Schritt 11

Addiere

$0$ und

$\frac{{(- 2 i - 1.5)}^{2}}{625}$ .

$\sqrt{\frac{{(- 2 i - 1.5)}^{2}}{625}}$

Schritt 12

Schreibe

$\sqrt{\frac{{(- 2 i - 1.5)}^{2}}{625}}$ als

$\frac{\sqrt{{(- 2 i - 1.5)}^{2}}}{\sqrt{625}}$ um.

$\frac{\sqrt{{(- 2 i - 1.5)}^{2}}}{\sqrt{625}}$

Schritt 13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{- (- 2 i - 1.5)}{\sqrt{625}}$

Schritt 13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- (- 2 i) - - 1.5}{\sqrt{625}}$

Schritt 13.3

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 1$ .

$\frac{2 i - - 1.5}{\sqrt{625}}$

Schritt 13.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1.5$ .

$\frac{2 i + 1.5}{\sqrt{625}}$

Schritt 14

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.1

Schreibe

$625$ als

$25^{2}$ um.

$\frac{2 i + 1.5}{\sqrt{25^{2}}}$

Schritt 14.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 i + 1.5}{25}$

Schritt 15

Stelle

$2 i$ und

$1.5$ um.

$\frac{1.5 + 2 i}{25}$