Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 5}{x^{2} + 5 x - 14} - \frac{x + 3}{x + 7}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x - 14$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 14$ und deren Summe $5$ ist.

$- 2, 7$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x^{2} - 5}{(x - 2) (x + 7)} - \frac{x + 3}{x + 7}$

Schritt 2

Um $- \frac{x + 3}{x + 7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} - 5}{(x - 2) (x + 7)} - \frac{x + 3}{x + 7} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 2) (x + 7)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{x + 3}{x + 7}$ mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} - 5}{(x - 2) (x + 7)} - \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $(x - 2) (x + 7)$ um.

$\frac{x^{2} - 5}{(x + 7) (x - 2)} - \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} - 5 - (x + 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 5 + (- x - 1 \cdot 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} - 5 + (- x - 3) (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 5.3

Multipliziere $(- x - 3) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 5 - x (x - 2) - 3 (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 5 - x \cdot x - x \cdot - 2 - 3 (x - 2)}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 5 - x \cdot x - x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 - (x \cdot x) - x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 5.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 - x^{2} - x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 5.4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 - x^{2} + 2 x - 3 x - 3 \cdot - 2}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 5.4.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 - x^{2} + 2 x - 3 x + 6}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 5.4.2

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 - x^{2} - x + 6}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{0 - 5 - x + 6}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$\frac{- 5 - x + 6}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 5.7

Addiere $- 5$ und $6$ .

$\frac{- x + 1}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) + 1}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 6.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (x - 1)}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.1

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$\frac{- 1 (x - 1)}{(x + 7) (x - 2)}$

Schritt 6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x - 1}{(x + 7) (x - 2)}$