Finite Mathematik Beispiele

$(z - 4 (\cos (\frac{π}{5}) + i \sin (\frac{π}{5}))) (z - 4 (\cos (\frac{π}{5}) + i \sin (\frac{π}{5})))$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(z - 4 \cos (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5})) (z - 4 (\cos (\frac{π}{5}) + i \sin (\frac{π}{5})))$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(z - 4 \cos (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5})) (z - 4 \cos (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Schritt 2

Multipliziere $(z - 4 \cos (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5})) (z - 4 \cos (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}))$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$z \cdot z + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $z$ mit $z$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $- 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5}))$ .

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Schritt 3.1.2.2

Potenziere $\cos (\frac{π}{5})$ mit $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 (\cos^{1} (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Schritt 3.1.2.3

Potenziere $\cos (\frac{π}{5})$ mit $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 (\cos^{1} (\frac{π}{5}) \cos^{1} (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Schritt 3.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 {\cos (\frac{π}{5})}^{1 + 1} - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Schritt 3.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) (i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $- 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 i \sin (\frac{π}{5}) (i \sin (\frac{π}{5}))$

Schritt 3.1.5.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 (i^{1} i) \sin (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$

Schritt 3.1.5.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 (i^{1} i^{1}) \sin (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$

Schritt 3.1.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 i^{1 + 1} \sin (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$

Schritt 3.1.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 i^{2} \sin (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$

Schritt 3.1.5.6

Potenziere $\sin (\frac{π}{5})$ mit $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 i^{2} (\sin^{1} (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5}))$

Schritt 3.1.5.7

Potenziere $\sin (\frac{π}{5})$ mit $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 i^{2} (\sin^{1} (\frac{π}{5}) \sin^{1} (\frac{π}{5}))$

Schritt 3.1.5.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

Schritt 3.1.5.9

Addiere $1$ und $1$ .

Schritt 3.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

Schritt 3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.1

Bewege $\cos (\frac{π}{5})$ .

$z^{2} - 4 \cdot z \cos (\frac{π}{5}) - 4 z \cos (\frac{π}{5}) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $4 z \cos (\frac{π}{5})$ von $- 4 z \cos (\frac{π}{5})$ .

$z^{2} - 8 z \cos (\frac{π}{5}) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$

Schritt 3.2.3

Bewege $i$ .

$z^{2} - 8 z \cos (\frac{π}{5}) - 4 \cdot z i \sin (\frac{π}{5}) - 4 z i \sin (\frac{π}{5}) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $4 z i \sin (\frac{π}{5})$ von $- 4 z i \sin (\frac{π}{5})$ .

$z^{2} - 8 z \cos (\frac{π}{5}) - 8 z i \sin (\frac{π}{5}) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$

Schritt 3.2.5

Stelle die Faktoren von $16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5})$ um.

$z^{2} - 8 z \cos (\frac{π}{5}) - 8 z i \sin (\frac{π}{5}) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) + 16 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$

Schritt 4

Addiere $16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5})$ und $16 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$ .

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Schritt 4.1

Bewege $\cos (\frac{π}{5})$ .

$z^{2} - 8 z \cos (\frac{π}{5}) - 8 z i \sin (\frac{π}{5}) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5}) + 16 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$

Schritt 4.2

Addiere $16 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$ und $16 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$ .

$z^{2} - 8 z \cos (\frac{π}{5}) - 8 z i \sin (\frac{π}{5}) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 32 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$