Finite Mathematik Beispiele

$\frac{9 x^{2} + 58 x - 35}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \div \frac{5 x + 35}{3 x^{3}}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{9 x^{2} + 58 x - 35}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot - 35 = - 315$ und deren Summe gleich $b = 58$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $58$ aus $58 x$ heraus.

$\frac{9 x^{2} + 58 (x) - 35}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $58$ um als $- 5$ plus $63$

$\frac{9 x^{2} + (- 5 + 63) x - 35}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 x^{2} - 5 x + 63 x - 35}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(9 x^{2} - 5 x) + 63 x - 35}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (9 x - 5) + 7 (9 x - 5)}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 x - 5$ .

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 x - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 3

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x - 35$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x) - 35} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $7$ aus $- 35$ heraus.

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 x + 7 \cdot - 5} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $7$ aus $7 x + 7 \cdot - 5$ heraus.

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x^{2} - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 5 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot x - 5 x}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x \cdot x + x \cdot - 5}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 5$ heraus.

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{81 x^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $81 x^{2}$ als ${(9 x)}^{2}$ um.

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{{(9 x)}^{2} - 25} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 4.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{{(9 x)}^{2} - 5^{2}} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 9 x$ und $b = 5$ .

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{(9 x + 5) (9 x - 5)} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9 x - 5$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $9 x - 5$ aus $(9 x + 5) (9 x - 5)$ heraus.

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{(9 x - 5) (9 x + 5)} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(9 x - 5) (x + 7)}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{(9 x - 5) (9 x + 5)} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 5.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 7}{7 (x - 5)} \cdot \frac{x (x - 5)}{9 x + 5} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 5$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x - 5$ aus $7 (x - 5)$ heraus.

$\frac{x + 7}{(x - 5) \cdot 7} \cdot \frac{x (x - 5)}{9 x + 5} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $x - 5$ aus $x (x - 5)$ heraus.

$\frac{x + 7}{(x - 5) \cdot 7} \cdot \frac{(x - 5) x}{9 x + 5} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 7}{(x - 5) \cdot 7} \cdot \frac{(x - 5) x}{9 x + 5} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 7}{7} \cdot \frac{x}{9 x + 5} \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{x + 7}{7}$ mit $\frac{x}{9 x + 5}$ .

$\frac{(x + 7) x}{7 (9 x + 5)} \cdot \frac{3 x^{3}}{5 x + 35}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $5$ aus $5 x + 35$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{(x + 7) x}{7 (9 x + 5)} \cdot \frac{3 x^{3}}{5 (x) + 35}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $5$ aus $35$ heraus.

$\frac{(x + 7) x}{7 (9 x + 5)} \cdot \frac{3 x^{3}}{5 x + 5 \cdot 7}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 x + 5 \cdot 7$ heraus.

$\frac{(x + 7) x}{7 (9 x + 5)} \cdot \frac{3 x^{3}}{5 (x + 7)}$

Schritt 5.5

Kombinieren.

$\frac{(x + 7) x (3 x^{3})}{7 (9 x + 5) (5 (x + 7))}$

Schritt 6

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1

Bewege $x^{3}$ .

$\frac{(x + 7) (x^{3} x) \cdot 3}{7 (9 x + 5) (5 (x + 7))}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(x + 7) (x^{3} x^{1}) \cdot 3}{7 (9 x + 5) (5 (x + 7))}$

Schritt 6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(x + 7) x^{3 + 1} \cdot 3}{7 (9 x + 5) (5 (x + 7))}$

Schritt 6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{(x + 7) x^{4} \cdot 3}{7 (9 x + 5) (5 (x + 7))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 7) x^{4} \cdot 3}{7 (9 x + 5) (5 (x + 7))}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4} \cdot 3}{7 (9 x + 5) \cdot (5)}$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\frac{x^{4} \cdot 3}{35 (9 x + 5)}$

Schritt 8.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4}}{35 (9 x + 5)}$