Finite Mathematik Beispiele

$\frac{6 - 3 x}{6 x + 6 x^{2}} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Schritt 1

Faktorisiere $3$ aus $6 - 3 x$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (2) - 3 x}{6 x + 6 x^{2}} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{3 (2) + 3 (- x)}{6 x + 6 x^{2}} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2) + 3 (- x)$ heraus.

$\frac{3 (2 - x)}{6 x + 6 x^{2}} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Schritt 2

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x + 6 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1) + 6 x^{2}} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1) + 6 x (x)} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (1) + 6 x (x)$ heraus.

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{x^{2} - 4}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{3 x^{2} - 2 (x) - 5}{x^{2} - 4}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 2$ um als $3$ plus $- 5$

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{3 x^{2} + (3 - 5) x - 5}{x^{2} - 4}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{3 x^{2} + 3 x - 5 x - 5}{x^{2} - 4}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{(3 x^{2} + 3 x) - 5 x - 5}{x^{2} - 4}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{3 x (x + 1) - 5 (x + 1)}{x^{2} - 4}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{x^{2} - 4}$

Schritt 4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{x^{2} - 2^{2}}$

Schritt 4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{3 (2 - x)}{6 x (1 + x)} \cdot \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x (1 + x)$ heraus.

$\frac{3 (2 - x)}{3 (2 x (1 + x))} \cdot \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (2 - x)}{3 (2 x (1 + x))} \cdot \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - x}{2 x (1 + x)} \cdot \frac{(x + 1) (3 x - 5)}{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{2 - x}{2 x (1 + x)}$ mit $\frac{(x + 1) (3 x - 5)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{(2 - x) ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) ((x + 2) (x - 2))}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - x$ und $x - 2$ .

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Schritt 7.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{(- 1 (- 2) - x) ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) ((x + 2) (x - 2))}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- 1 (- 2) - (x)) ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) ((x + 2) (x - 2))}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (- 2 + x) ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) ((x + 2) (x - 2))}$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (x - 2) ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) ((x + 2) (x - 2))}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x - 2) ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) ((x + 2) (x - 2))}$

Schritt 7.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (1 + x) (x + 2)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 1$ und $1 + x$ .

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Schritt 8.1

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (x + 1) (x + 2)}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 ((x + 1) (3 x - 5))}{2 x (x + 1) (x + 2)}$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (3 x - 5)}{2 x (x + 2)}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x - 5}{2 x (x + 2)}$