Finite Mathematik Beispiele

\frac{6}{50 + 23 x^{2} - x^{4}} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{50 + 23 x^{2} - x^{4}} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1.1

Stelle die Terme um.

\frac{6}{- x^{4} + 23 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{- x^{4} + 23 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Schritt 1.1.1.2

Für ein Polynom der Form

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich

a \cdot c = - 1 \cdot 50 = - 50

$a \cdot c = - 1 \cdot 50 = - 50$ und deren Summe gleich

b = 23

$b = 23$ ist.

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Schritt 1.1.1.2.1

Faktorisiere

23

$23$ aus

23 x^{2}

$23 x^{2}$ heraus.

\frac{6}{- x^{4} + 23 (x^{2}) + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{- x^{4} + 23 (x^{2}) + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Schritt 1.1.1.2.2

Schreibe

23

$23$ um als

- 2

$- 2$ plus

25

$25$

\frac{6}{- x^{4} + (- 2 + 25) x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{- x^{4} + (- 2 + 25) x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Schritt 1.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

\frac{6}{- x^{4} - 2 x^{2} + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{- x^{4} - 2 x^{2} + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

\frac{6}{- x^{4} - 2 x^{2} + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{- x^{4} - 2 x^{2} + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Schritt 1.1.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

\frac{6}{(- x^{4} - 2 x^{2}) + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{4} - 2 x^{2}) + 25 x^{2} + 50} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Schritt 1.1.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

\frac{6}{x^{2} (- x^{2} - 2) - 25 (- x^{2} - 2)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{x^{2} (- x^{2} - 2) - 25 (- x^{2} - 2)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

\frac{6}{x^{2} (- x^{2} - 2) - 25 (- x^{2} - 2)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{x^{2} (- x^{2} - 2) - 25 (- x^{2} - 2)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Schritt 1.1.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

- x^{2} - 2

$- x^{2} - 2$ .

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 25)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 25)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 25)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 25)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Schritt 1.1.2

Schreibe

25

$25$ als

5^{2}

$5^{2}$ um.

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 5^{2})} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x^{2} - 5^{2})} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Schritt 1.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit

a = x

$a = x$ und

b = 5

$b = 5$ .

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{3} - 5 x^{2} + 2 x - 10}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x^{3} - 5 x^{2}) + 2 x - 10}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x^{3} - 5 x^{2}) + 2 x - 10}$

Schritt 1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{2} (x - 5) + 2 (x - 5)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{2} (x - 5) + 2 (x - 5)}$

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{2} (x - 5) + 2 (x - 5)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{x^{2} (x - 5) + 2 (x - 5)}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers,

x - 5

$x - 5$ .

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}$

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}$

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (x^{2} + 2)}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

x^{2}

$x^{2}$ heraus.

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) + 2)}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) + 2)}$

Schritt 2.2

Schreibe

2

$2$ als

- 1 (- 2)

$- 1 (- 2)$ um.

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2))}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2))}$

Schritt 2.3

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2)

$- 1 (- x^{2}) - 1 (- 2)$ heraus.

\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$

Schritt 3

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$

Schritt 4

$- \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

Schritt 5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von

$(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von

$1$ multiplizierst.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere

$\frac{6}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$ mit

$\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere

$\frac{3}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2))}$ mit

$\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{6 \cdot - 1}{(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von

$(- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5) \cdot - 1$ um.

$\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)}$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren von

$(x - 5) (- 1 (- x^{2} - 2)) (x + 5)$ um.

$\frac{6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)} - \frac{3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Faktorisiere

$- 3$ aus

$6 \cdot - 1 - 3 (x + 5)$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Stelle

$6 \cdot - 1$ und

$- 3 (x + 5)$ um.

$\frac{- 3 (x + 5) + 6 \cdot - 1}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere

$- 3$ aus

$6 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere

$- 3$ aus

$- 3 (x + 5) - 3 (- 2 \cdot - 1)$ heraus.

$\frac{- 3 (x + 5 - 2 \cdot - 1)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 1$ .

$\frac{- 3 (x + 5 + 2)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 7.3

Addiere

$5$ und

$2$ .

$\frac{- 3 (x + 7)}{- (- x^{2} - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{3 (x + 7)}{((- x^{2} - 2) (x + 5)) (x - 5)}$

Schritt 8.2

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 2) (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 8.3

Schreibe

$- 2$ als

$- 1 (2)$ um.

$\frac{3 (x + 7)}{(- (x^{2}) - 1 (2)) (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 8.4

Faktorisiere

$- 1$ aus

$- (x^{2}) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{3 (x + 7)}{- (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 8.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 8.5.1

Schreibe

$- (x^{2} + 2)$ als

$- 1 (x^{2} + 2)$ um.

$\frac{3 (x + 7)}{- 1 (x^{2} + 2) (x + 5) (x - 5)}$

Schritt 8.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (x + 7)}{((x^{2} + 2) (x + 5)) (x - 5)}$