Finite Mathematik Beispiele

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 13 m n + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 6 \cdot 6 = 36$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 1.1.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 6 n^{2} + 13 m n} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Schritt 1.1.1.2

Stelle $6 n^{2}$ und $13 m n$ um.

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 13 m n + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $13$ aus $13 m n$ heraus.

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 13 (m n) + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Schreibe $13$ um als $4$ plus $9$

$\frac{3 m}{6 m^{2} + (4 + 9) (m n) + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Schritt 1.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 4 (m n) + 9 (m n) + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Schritt 1.1.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{3 m}{6 m^{2} + 4 m n + 9 m n + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 m}{(6 m^{2} + 4 m n) + 9 m n + 6 n^{2}} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 m}{2 m (3 m + 2 n) + 3 n (3 m + 2 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 m + 2 n$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 3 n^{2} + 8 m n}$

Schritt 1.2.1.2

Stelle $3 n^{2}$ und $8 m n$ um.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 m n + 3 n^{2}}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 m n$ heraus.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 8 (m n) + 3 n^{2}}$

Schritt 1.2.1.4

Schreibe $8$ um als $2$ plus $6$

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + (2 + 6) (m n) + 3 n^{2}}$

Schritt 1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 2 (m n) + 6 (m n) + 3 n^{2}}$

Schritt 1.2.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{4 m^{2} + 2 m n + 6 m n + 3 n^{2}}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{(4 m^{2} + 2 m n) + 6 m n + 3 n^{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{2 m (2 m + n) + 3 n (2 m + n)}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 m + n$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} + \frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)}$

Schritt 2

Um $\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 m + n}{2 m + n}$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} \cdot \frac{2 m + n}{2 m + n} + \frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)}$

Schritt 3

Um $\frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 m + 2 n}{3 m + 2 n}$ .

$\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)} \cdot \frac{2 m + n}{2 m + n} + \frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)} \cdot \frac{3 m + 2 n}{3 m + 2 n}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 m + 2 n) (2 m + 3 n) (2 m + n)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{3 m}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n)}$ mit $\frac{2 m + n}{2 m + n}$ .

$\frac{3 m (2 m + n)}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n) (2 m + n)} + \frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)} \cdot \frac{3 m + 2 n}{3 m + 2 n}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2 m}{(2 m + n) (2 m + 3 n)}$ mit $\frac{3 m + 2 n}{3 m + 2 n}$ .

$\frac{3 m (2 m + n)}{(3 m + 2 n) (2 m + 3 n) (2 m + n)} + \frac{2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + n) (2 m + 3 n) (3 m + 2 n)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(3 m + 2 n) (2 m + 3 n) (2 m + n)$ um.

$\frac{3 m (2 m + n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)} + \frac{2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + n) (2 m + 3 n) (3 m + 2 n)}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $(2 m + n) (2 m + 3 n) (3 m + 2 n)$ um.

$\frac{3 m (2 m + n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)} + \frac{2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 m (2 m + n) + 2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $m$ aus $3 m (2 m + n) + 2 m (3 m + 2 n)$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $m$ aus $3 m (2 m + n)$ heraus.

$\frac{m (3 (2 m + n)) + 2 m (3 m + 2 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $m$ aus $2 m (3 m + 2 n)$ heraus.

$\frac{m (3 (2 m + n)) + m (2 (3 m + 2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $m$ aus $m (3 (2 m + n)) + m (2 (3 m + 2 n))$ heraus.

$\frac{m (3 (2 m + n) + 2 (3 m + 2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{m (3 (2 m) + 3 n + 2 (3 m + 2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{m (6 m + 3 n + 2 (3 m + 2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{m (6 m + 3 n + 2 (3 m) + 2 (2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{m (6 m + 3 n + 6 m + 2 (2 n))}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{m (6 m + 3 n + 6 m + 4 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Schritt 6.7

Addiere $6 m$ und $6 m$ .

$\frac{m (12 m + 3 n + 4 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$

Schritt 6.8

Addiere $3 n$ und $4 n$ .

$\frac{m (12 m + 7 n)}{(2 m + 3 n) (2 m + n) (3 m + 2 n)}$