Finite Mathematik Beispiele

$\frac{3 x^{3} - 81}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3} - 81$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\frac{3 (x^{3}) - 81}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 81$ heraus.

$\frac{3 x^{3} + 3 \cdot - 27}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{3} + 3 \cdot - 27$ heraus.

$\frac{3 (x^{3} - 27)}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 1.2

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{3 (x^{3} - 3^{3})}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + 3 \cdot x + 3^{2}))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 1.4.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9))}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 x^{2} + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 8 x - 60$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2}) + 8 x - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2}) + 4 (2 x) - 60} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 60$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 x^{2} + 4 (2 x) + 4 \cdot - 15} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 (2 x)$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2} + 2 x) + 4 \cdot - 15} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} + 2 x) + 4 \cdot - 15$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x^{2} + 2 x - 15)} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} + 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $2$ ist.

$- 3, 5$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 ((x - 3) (x + 5))} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 x + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 16$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x) + 16}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 x + 8 \cdot 2}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x + 8 \cdot 2$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 x^{2} + 18 x + 54}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 18 x + 54$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2}) + 18 x + 54}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $6$ aus $18 x$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2}) + 6 (3 x) + 54}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $6$ aus $54$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 x^{2} + 6 (3 x) + 6 \cdot 9}$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 (3 x)$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 9}$

Schritt 3.2.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot 9$ heraus.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{4 (x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{8 (x + 2)}{6 (x^{2} + 3 x + 9)}$

Schritt 3.3

Kombinieren.

$\frac{3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))$ heraus.

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Schritt 3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $4 (x - 3) (x + 5) (6 (x^{2} + 3 x + 9))$ heraus.

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{3 (4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9)))}$

Schritt 3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2)))}{3 (4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9)))}$

Schritt 3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x - 3) (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Schritt 3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{(4 (x + 5)) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 3 x + 9$ .

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Schritt 3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} + 3 x + 9) (8 (x + 2))}{4 (x + 5) (2 (x^{2} + 3 x + 9))}$

Schritt 3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 (x + 2)}{(4 (x + 5)) \cdot (2)}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 3.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8 (x + 2)$ heraus.

$\frac{4 (2 (x + 2))}{(4 (x + 5)) \cdot (2)}$

Schritt 3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $(4 (x + 5)) \cdot (2)$ heraus.

$\frac{4 (2 (x + 2))}{4 ((x + 5) \cdot (2))}$

Schritt 3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (2 (x + 2))}{4 ((x + 5) \cdot (2))}$

Schritt 3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (x + 2)}{(x + 5) \cdot (2)}$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x + 2)}{(x + 5) \cdot 2}$

Schritt 3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 2}{x + 5}$