Finite Mathematik Beispiele

$\frac{5}{t} < \frac{9}{2 t + 1}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{9}{2 t + 1}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{5}{t} - \frac{9}{2 t + 1} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{5}{t} - \frac{9}{2 t + 1}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{5}{t}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 t + 1}{2 t + 1}$ .

$\frac{5}{t} \cdot \frac{2 t + 1}{2 t + 1} - \frac{9}{2 t + 1} < 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{9}{2 t + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{t}{t}$ .

$\frac{5}{t} \cdot \frac{2 t + 1}{2 t + 1} - \frac{9}{2 t + 1} \cdot \frac{t}{t} < 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $t (2 t + 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{t}$ mit $\frac{2 t + 1}{2 t + 1}$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9}{2 t + 1} \cdot \frac{t}{t} < 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{9}{2 t + 1}$ mit $\frac{t}{t}$ .

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9 t}{(2 t + 1) t} < 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(2 t + 1) t$ um.

$\frac{5 (2 t + 1)}{t (2 t + 1)} - \frac{9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 (2 t + 1) - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (2 t) + 5 \cdot 1 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10 t + 5 \cdot 1 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{10 t + 5 - 9 t}{t (2 t + 1)} < 0$

Schritt 2.5.4

Subtrahiere $9 t$ von $10 t$ .

$\frac{t + 5}{t (2 t + 1)} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$t = 0$

$t + 5 = 0$

$2 t + 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t = - 5$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 t = - 1$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 t = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 t = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{1}{2}$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$t = 0$

$t = - 5$

$t = - \frac{1}{2}$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$t = 0, - 5, - \frac{1}{2}$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{t + 5}{t (2 t + 1)}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{t + 5}{t (2 t + 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$t (2 t + 1) = 0$

Schritt 9.2

Löse nach $t$ auf.

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Schritt 9.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t = 0$

$2 t + 1 = 0$

Schritt 9.2.2

Setze $t$ gleich $0$ .

$t = 0$

Schritt 9.2.3

Setze $2 t + 1$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 9.2.3.1

Setze $2 t + 1$ gleich $0$ .

$2 t + 1 = 0$

Schritt 9.2.3.2

Löse $2 t + 1 = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 9.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 t = - 1$

Schritt 9.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 t = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 t = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 9.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 t}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 9.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $t$ durch $1$ .

$t = \frac{- 1}{2}$

Schritt 9.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{1}{2}$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $t (2 t + 1) = 0$ wahr machen.

$t = 0, - \frac{1}{2}$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $t$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$t < - 5$

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < t < 0$

$t > 0$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $t < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $t < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$t = - 8$

Schritt 11.1.2

Ersetze $t$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5}{- 8} < \frac{9}{2 (- 8) + 1}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 0.625$ ist kleiner als die rechte Seite $- 0.6$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < t < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < t < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$t = - 3$

Schritt 11.2.2

Ersetze $t$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5}{- 3} < \frac{9}{2 (- 3) + 1}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 1.\overline{6}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 1.8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < t < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < t < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$t = - 0.25$

Schritt 11.3.2

Ersetze $t$ durch $- 0.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5}{- 0.25} < \frac{9}{2 (- 0.25) + 1}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $18$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $t > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $t > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$t = 2$

Schritt 11.4.2

Ersetze $t$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5}{2} < \frac{9}{2 (2) + 1}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $2.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1.8$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$t < - 5$ Wahr

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$ Falsch

$- \frac{1}{2} < t < 0$ Wahr

$t > 0$ Falsch

$t < - 5$ Wahr

$- 5 < t < - \frac{1}{2}$ Falsch

$- \frac{1}{2} < t < 0$ Wahr

$t > 0$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$t < - 5$ oder $- \frac{1}{2} < t < 0$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$t < - 5 or - \frac{1}{2} < t < 0$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5) \cup (- \frac{1}{2}, 0)$

Schritt 14