Finite Mathematik Beispiele

$8 + \frac{3}{y} > \frac{19}{y}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$(8 + \frac{3}{y}) y = \frac{19}{y} y$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $(8 + \frac{3}{y}) y$ .

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 y + \frac{3}{y} y = \frac{19}{y} y$

Schritt 2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 y + \frac{3}{y} y = \frac{19}{y} y$

Schritt 2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 y + 3 = \frac{19}{y} y$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 y + 3 = \frac{19}{y} y$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$8 y + 3 = 19$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y = 19 - 3$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $3$ von $19$ .

$8 y = 16$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y = 16$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = 16$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{16}{8}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{16}{8}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{16}{8}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $16$ durch $8$ .

$y = 2$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $8 - \frac{16}{y}$ .

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{16}{y}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y = 0$

Schritt 4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $y$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$y < 0$

$0 < y < 2$

$y > 2$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $y < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = - 2$

Schritt 6.1.2

Ersetze $y$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$8 + \frac{3}{- 2} > \frac{19}{- 2}$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $6.5$ ist größer als die rechte Seite $- 9.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < y < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < y < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 1$

Schritt 6.2.2

Ersetze $y$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$8 + \frac{3}{1} > \frac{19}{1}$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $11$ ist nicht größer als die rechte Seite $19$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $y > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 4$

Schritt 6.3.2

Ersetze $y$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$8 + \frac{3}{4} > \frac{19}{4}$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $8.75$ ist größer als die rechte Seite $4.75$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$y < 0$ Wahr

$0 < y < 2$ Falsch

$y > 2$ Wahr

$y < 0$ Wahr

$0 < y < 2$ Falsch

$y > 2$ Wahr

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$y < 0$ oder $y > 2$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$y < 0 or y > 2$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (2, \infty)$

Schritt 9