Finite Mathematik Beispiele

$4 y^{2} - 19 y = 5$

Schritt 1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y^{2} - 19 y - 5 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ und deren Summe gleich $b = - 19$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 19$ aus $- 19 y$ heraus.

$4 y^{2} - 19 y - 5 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $- 19$ um als $1$ plus $- 20$

$4 y^{2} + (1 - 20) y - 5 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 y^{2} + 1 y - 20 y - 5 = 0$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$4 y^{2} + y - 20 y - 5 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(4 y^{2} + y) - 20 y - 5 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y (4 y + 1) - 5 (4 y + 1) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 y + 1$ .

$(4 y + 1) (y - 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 y + 1 = 0$

$y - 5 = 0$

Schritt 4

Setze $4 y + 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $4 y + 1$ gleich $0$ .

$4 y + 1 = 0$

Schritt 4.2

Löse $4 y + 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = - 1$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{4}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{4}$

Schritt 5

Setze $y - 5$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $y - 5$ gleich $0$ .

$y - 5 = 0$

Schritt 5.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 y + 1) (y - 5) = 0$ wahr machen.

$y = - \frac{1}{4}, 5$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = - \frac{1}{4}, 5$

Dezimalform:

$y = - 0.25, 5$