Finite Mathematik Beispiele

x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}

$x + 2 > \sqrt{10 - x^{2}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2

$\sqrt{10 - x^{2}} < x + 2$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

{\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}

${\sqrt{10 - x^{2}}}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Benutze

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um

\sqrt{10 - x^{2}}

$\sqrt{10 - x^{2}}$ als

{(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in

{({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}

${({(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

{(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von

2

$2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(10 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {(x + 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(10 - x^{2})}^{1} < {(x + 2)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$10 - x^{2} < {(x + 2)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache

${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe

${(x + 2)}^{2}$ als

$(x + 2) (x + 2)$ um.

$10 - x^{2} < (x + 2) (x + 2)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere

$(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 - x^{2} < x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$10 - x^{2} < x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Mutltipliziere

$x$ mit

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Bringe

$2$ auf die linke Seite von

$x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere

$2$ mit

$2$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Schritt 3.3.1.3.2

Addiere

$2 x$ und

$2 x$ .

$10 - x^{2} < x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 4

Löse nach

$x$ auf.

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Schritt 4.1

Stelle so um, dass

$x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$x^{2} + 4 x + 4 > 10 - x^{2}$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die

$x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere

$x^{2}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} > 10$

Schritt 4.2.2

Addiere

$x^{2}$ und

$x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 x + 4 > 10$

Schritt 4.3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} + 4 x + 4 = 10$

Schritt 4.4

Subtrahiere

$10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} + 4 x + 4 - 10 = 0$

Schritt 4.5

Subtrahiere

$10$ von

$4$ .

$2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Schritt 4.6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 x^{2} + 4 x - 6$ heraus.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere

$2$ aus

$2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) + 4 x - 6 = 0$

Schritt 4.6.1.2

Faktorisiere

$2$ aus

$4 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (2 x) - 6 = 0$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere

$2$ aus

$- 6$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Schritt 4.6.1.4

Faktorisiere

$2$ aus

$2 x^{2} + 2 (2 x)$ heraus.

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3 = 0$

Schritt 4.6.1.5

Faktorisiere

$2$ aus

$2 (x^{2} + 2 x) + 2 \cdot - 3$ heraus.

$2 (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.6.2.1

Faktorisiere

$x^{2} + 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.6.2.1.1

Betrachte die Form

$x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt

$c$ und deren Summe

$b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt

$- 3$ und deren Summe

$2$ ist.

$- 1, 3$

Schritt 4.6.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$2 ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Schritt 4.6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$

Schritt 4.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich

$0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich

$0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4.8

Setze

$x - 1$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze

$x - 1$ gleich

$0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.8.2

Addiere

$1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.9

Setze

$x + 3$ gleich

$0$ und löse nach

$x$ auf.

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Schritt 4.9.1

Setze

$x + 3$ gleich

$0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.9.2

Subtrahiere

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die

$2 (x - 1) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 3$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von

$x + 2 - \sqrt{10 - x^{2}}$ .

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Schritt 5.1

Setze den Radikanden in

$\sqrt{10 - x^{2}}$ größer als oder gleich

$0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$10 - x^{2} \geq 0$

Schritt 5.2

Löse nach

$x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere

$10$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 10$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in

$- x^{2} \geq - 10$ durch

$- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Term in

$- x^{2} \geq - 10$ durch

$- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere

$x^{2}$ durch

$1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Dividiere

$- 10$ durch

$- 1$ .

$x^{2} \leq 10$

Schritt 5.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{10}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{10}$

Schritt 5.2.5

Schreibe

$| x | \leq \sqrt{10}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 5.2.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 5.2.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem

$x$ nicht negativ ist.

$x \leq \sqrt{10}$

Schritt 5.2.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 5.2.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit

$- 1$ in dem Teil, in dem

$x$ negativ ist.

$- x \leq \sqrt{10}$

Schritt 5.2.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{10} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{10} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 5.2.6

Bestimme die Schnittmenge von

$x \leq \sqrt{10}$ und

$x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{10}$

Schritt 5.2.7

Löse

$- x \leq \sqrt{10}$ , wenn

$x < 0$ ergibt.

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Schritt 5.2.7.1

Teile jeden Ausdruck in

$- x \leq \sqrt{10}$ durch

$- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.7.1.1

Teile jeden Term in

$- x \leq \sqrt{10}$ durch

$- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 5.2.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 5.2.7.1.2.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{10}}{- 1}$

Schritt 5.2.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von

$\frac{\sqrt{10}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{10}$

Schritt 5.2.7.1.3.2

Schreibe

$- 1 \cdot \sqrt{10}$ als

$- \sqrt{10}$ um.

$x \geq - \sqrt{10}$

Schritt 5.2.7.2

Bestimme die Schnittmenge von

$x \geq - \sqrt{10}$ und

$x < 0$ .

$- \sqrt{10} \leq x < 0$

Schritt 5.2.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von

$x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \sqrt{10}, \sqrt{10}]$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \sqrt{10}$

$- \sqrt{10} < x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < \sqrt{10}$

$x > \sqrt{10}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall

$x < - \sqrt{10}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

$x < - \sqrt{10}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 7.1.2

Ersetze

$x$ durch

$- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 6) + 2 > \sqrt{10 - {(- 6)}^{2}}$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall

$- \sqrt{10} < x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

$- \sqrt{10} < x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3.08$

Schritt 7.2.2

Ersetze

$x$ durch

$- 3.08$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 3.08) + 2 > \sqrt{10 - {(- 3.08)}^{2}}$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite

$- 1.08$ ist nicht größer als die rechte Seite

$0.71665891$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall

$- 3 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

$- 3 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.3.2

Ersetze

$x$ durch

$0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(0) + 2 > \sqrt{10 - {(0)}^{2}}$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite

$2$ ist nicht größer als die rechte Seite

$3.16227766$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.4

Teste einen Wert im Intervall

$1 < x < \sqrt{10}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

$1 < x < \sqrt{10}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 7.4.2

Ersetze

$x$ durch

$2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2) + 2 > \sqrt{10 - {(2)}^{2}}$

Schritt 7.4.3

Die linke Seite

$4$ ist größer als die rechte Seite

$2.44948974$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.5

Teste einen Wert im Intervall

$x > \sqrt{10}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall

$x > \sqrt{10}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 7.5.2

Ersetze

$x$ durch

$6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(6) + 2 > \sqrt{10 - {(6)}^{2}}$

Schritt 7.5.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \sqrt{10}$ Falsch

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 1$ Falsch

$1 < x < \sqrt{10}$ Wahr

$x > \sqrt{10}$ Falsch

$x < - \sqrt{10}$ Falsch

$- \sqrt{10} < x < - 3$ Falsch

$- 3 < x < 1$ Falsch

$1 < x < \sqrt{10}$ Wahr

$x > \sqrt{10}$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$1 < x < \sqrt{10}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$1 < x < \sqrt{10}$

Intervallschreibweise:

$(1, \sqrt{10})$

Schritt 10