Finite Mathematik Beispiele

$3 x^{2} - 5 x < 2$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$3 x^{2} - 5 x = 2$

Schritt 2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

Schritt 3.1.2

Schreibe $- 5$ um als $1$ plus $- 6$

$3 x^{2} + (1 - 6) x - 2 = 0$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 1 x - 6 x - 2 = 0$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} + x - 6 x - 2 = 0$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} + x) - 6 x - 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1) = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + 1$ .

$(3 x + 1) (x - 2) = 0$

Schritt 4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 5

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $3 x + 1$ gleich $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Schritt 5.2

Löse $3 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 1$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{3}$

Schritt 6

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 1) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{3}, 2$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < 2$

$x > 2$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(- 3)}^{2} - 5 \cdot - 3 < 2$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $42$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{3} < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{3} < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(0)}^{2} - 5 \cdot 0 < 2$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(4)}^{2} - 5 \cdot 4 < 2$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $28$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{3}$ Falsch

$- \frac{1}{3} < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

$x < - \frac{1}{3}$ Falsch

$- \frac{1}{3} < x < 2$ Wahr

$x > 2$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{1}{3} < x < 2$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{1}{3} < x < 2$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{1}{3}, 2)$

Schritt 12