Finite Mathematik Beispiele

$\frac{3}{5 x} + \frac{1}{6 x} > \frac{2}{3}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{3}{5 x} + \frac{1}{6 x}$ .

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Schritt 1.1

Um $\frac{3}{5 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3}{5 x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{6 x} > \frac{2}{3}$

Schritt 1.2

Um $\frac{1}{6 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3}{5 x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $30 x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{3}{5 x}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{5 x \cdot 6} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{1}{6 x} \cdot \frac{5}{5} > \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{6 x}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{5}{6 x \cdot 5} > \frac{2}{3}$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$\frac{3 \cdot 6}{30 x} + \frac{5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 \cdot 6 + 5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{18 + 5}{30 x} > \frac{2}{3}$

Schritt 1.5.2

Addiere $18$ und $5$ .

$\frac{23}{30 x} > \frac{2}{3}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $30 x$ .

$\frac{23}{30 x} (30 x) = \frac{2}{3} (30 x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{23}{30 x} (30 x)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$30 \frac{23}{30 x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Schritt 3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 3.1.1.2.1

Faktorisiere $30$ aus $30 x$ heraus.

$30 \frac{23}{30 (x)} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Schritt 3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$30 \frac{23}{30 x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Schritt 3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{23}{x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Schritt 3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{23}{x} x = \frac{2}{3} (30 x)$

Schritt 3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$23 = \frac{2}{3} (30 x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $\frac{2}{3} (30 x)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $30 x$ heraus.

$23 = \frac{2}{3} (3 (10 x))$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$23 = \frac{2}{3} (3 (10 x))$

Schritt 3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$23 = 2 (10 x)$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$23 = 20 x$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $20 x = 23$ um.

$20 x = 23$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $20 x = 23$ durch $20$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $20 x = 23$ durch $20$ .

$\frac{20 x}{20} = \frac{23}{20}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 x}{20} = \frac{23}{20}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{23}{20}$

Schritt 5

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{23}{30 x} - \frac{2}{3}$ .

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{23}{30 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$30 x = 0$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $30 x = 0$ durch $30$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $30 x = 0$ durch $30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{0}{30}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{30 x}{30} = \frac{0}{30}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{30}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $0$ durch $30$ .

$x = 0$

Schritt 5.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{23}{20}$

$x > \frac{23}{20}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{5 (- 2)} + \frac{1}{6 (- 2)} > \frac{2}{3}$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $- 0.38\overline{3}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{23}{20}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{23}{20}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{5 (1)} + \frac{1}{6 (1)} > \frac{2}{3}$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $0.7\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{23}{20}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{23}{20}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{5 (4)} + \frac{1}{6 (4)} > \frac{2}{3}$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $0.191\overline{6}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.\overline{6}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{23}{20}$ Wahr

$x > \frac{23}{20}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{23}{20}$ Wahr

$x > \frac{23}{20}$ Falsch

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < \frac{23}{20}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x < \frac{23}{20}$

Intervallschreibweise:

$(0, \frac{23}{20})$

Schritt 10