Finite Mathematik Beispiele

$\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)} < 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x^{2} - 7 + 3 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 2

Addiere $- 7$ und $3$ .

$2 x^{2} - 4 = 0$

Schritt 3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 4$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 4$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 4$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{4}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$x^{2} = 2$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 7

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 8

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 9

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 10

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

$x = 2$

$x = - 1$

Schritt 11

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 2, - 1$

Schritt 12

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ .

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Schritt 12.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x^{2} - 7 + 3}{{(x - 2)}^{2} (x + 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$

Schritt 12.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Schritt 12.2.2

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.2.1

Setze ${(x - 2)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 12.2.2.2

Löse ${(x - 2)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.2.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 12.2.2.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 12.2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 12.2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x - 2)}^{2} (x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1$

Schritt 12.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 13

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \sqrt{2}$

$- \sqrt{2} < x < - 1$

$- 1 < x < \sqrt{2}$

$\sqrt{2} < x < 2$

$x > 2$

Schritt 14

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 14.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 14.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} - 7 + 3}{{((- 4) - 2)}^{2} ((- 4) + 1)} < 0$

Schritt 14.1.3

Die linke Seite $- 0.\overline{259}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 14.2

Teste einen Wert im Intervall $- \sqrt{2} < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \sqrt{2} < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1.21$

Schritt 14.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1.21$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 {(- 1.21)}^{2} - 7 + 3}{{((- 1.21) - 2)}^{2} ((- 1.21) + 1)} < 0$

Schritt 14.2.3

Die linke Seite $0.49531832$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 14.3

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < \sqrt{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < \sqrt{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 14.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 {(0)}^{2} - 7 + 3}{{((0) - 2)}^{2} ((0) + 1)} < 0$

Schritt 14.3.3

Die linke Seite $- 1$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 14.4

Teste einen Wert im Intervall $\sqrt{2} < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\sqrt{2} < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.71$

Schritt 14.4.2

Ersetze $x$ durch $1.71$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 {(1.71)}^{2} - 7 + 3}{{((1.71) - 2)}^{2} ((1.71) + 1)} < 0$

Schritt 14.4.3

Die linke Seite $8.10930582$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 14.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 14.5.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 {(4)}^{2} - 7 + 3}{{((4) - 2)}^{2} ((4) + 1)} < 0$

Schritt 14.5.3

Die linke Seite $1.4$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 14.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \sqrt{2}$ Wahr

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Wahr

$\sqrt{2} < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Falsch

$x < - \sqrt{2}$ Wahr

$- \sqrt{2} < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < \sqrt{2}$ Wahr

$\sqrt{2} < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Falsch

Schritt 15

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \sqrt{2}$ oder $- 1 < x < \sqrt{2}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \sqrt{2} or - 1 < x < \sqrt{2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (- 1, \sqrt{2})$

Schritt 17