Finite Mathematik Beispiele

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} > - \frac{10}{x - 3}$

Schritt 1

Addiere $\frac{10}{x - 3}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{14}{x^{2} - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3}$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 3 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{14}{x \cdot x - 3 x} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{14}{x \cdot x + x \cdot - 3} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 3$ heraus.

$\frac{14}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} + \frac{10}{x - 3} > 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{10}{x - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10}{x - 3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{8}{x} > 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (x - 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{10}{x - 3}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{(x - 3) x} - \frac{8}{x} > 0$

Schritt 2.3.2

Stelle die Faktoren von $(x - 3) x$ um.

$\frac{14}{x (x - 3)} + \frac{10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{14 + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $2$ aus $14 + 10 x$ heraus.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$\frac{2 (7) + 10 x}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$\frac{2 (7) + 2 (5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (7) + 2 (5 x)$ heraus.

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} > 0$

Schritt 2.6

Um $- \frac{8}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8}{x} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} > 0$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $\frac{8}{x}$ mit $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{2 (7 + 5 x)}{x (x - 3)} - \frac{8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (7 + 5 x) - 8 (x - 3)$ heraus.

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Schritt 2.9.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 (x - 3)$ heraus.

$\frac{2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

Schritt 2.9.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (7 + 5 x) + 2 (- 4 (x - 3))$ heraus.

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 (x - 3))}{x (x - 3)} > 0$

Schritt 2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x - 4 \cdot - 3)}{x (x - 3)} > 0$

Schritt 2.9.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$\frac{2 (7 + 5 x - 4 x + 12)}{x (x - 3)} > 0$

Schritt 2.9.4

Addiere $7$ und $12$ .

$\frac{2 (5 x - 4 x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

Schritt 2.9.5

Subtrahiere $4 x$ von $5 x$ .

$\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x + 19 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $19$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 19$

Schritt 5

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 19$

$x = 3$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 19, 3$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{2 (x + 19)}{x (x - 3)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (x - 3) = 0$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 8.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 8.2.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 8.2.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 3$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 19$

$- 19 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 19$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 19$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 22$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 22$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{14}{{(- 22)}^{2} - 3 \cdot - 22} - \frac{8}{- 22} > - \frac{10}{(- 22) - 3}$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $0.38\overline{90}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 19 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 19 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{14}{{(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2} - \frac{8}{- 2} > - \frac{10}{(- 2) - 3}$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $5.4$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{14}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2} - \frac{8}{2} > - \frac{10}{(2) - 3}$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 11$ ist nicht größer als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{14}{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6} - \frac{8}{6} > - \frac{10}{(6) - 3}$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $- 0.\overline{5}$ ist größer als die rechte Seite $- 3.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 19$ Falsch

$- 19 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

$x < - 19$ Falsch

$- 19 < x < 0$ Wahr

$0 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 19 < x < 0$ oder $x > 3$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 19 < x < 0 or x > 3$

Intervallschreibweise:

$(- 19, 0) \cup (3, \infty)$

Schritt 13