Finite Mathematik Beispiele

$| \frac{5}{7} x + 5 | > 10$

Schritt 1

Schreibe $| \frac{5}{7} x + 5 | > 10$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$\frac{5}{7} x + 5 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $\frac{5}{7}$ und $x$ .

$\frac{5 x}{7} + 5 \geq 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{5 x}{7} \geq - 5$

Schritt 1.2.3

Multipliziere beide Seiten mit $7$ .

$\frac{5 x}{7} \cdot 7 \geq - 5 \cdot 7$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{7} \cdot 7 \geq - 5 \cdot 7$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x \geq - 5 \cdot 7$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $7$ .

$5 x \geq - 35$

Schritt 1.2.5

Teile jeden Ausdruck in $5 x \geq - 35$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x \geq - 35$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{- 35}{5}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{- 35}{5}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 35}{5}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.3.1

Dividiere $- 35$ durch $5$ .

$x \geq - 7$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $\frac{5}{7} x + 5$ nicht negativ ist.

$\frac{5}{7} x + 5 > 10$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$\frac{5}{7} x + 5 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Kombiniere $\frac{5}{7}$ und $x$ .

$\frac{5 x}{7} + 5 < 0$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{5 x}{7} < - 5$

Schritt 1.5.3

Multipliziere beide Seiten mit $7$ .

$\frac{5 x}{7} \cdot 7 < - 5 \cdot 7$

Schritt 1.5.4

Vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 1.5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{7} \cdot 7 < - 5 \cdot 7$

Schritt 1.5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x < - 5 \cdot 7$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $7$ .

$5 x < - 35$

Schritt 1.5.5

Teile jeden Ausdruck in $5 x < - 35$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x < - 35$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} < \frac{- 35}{5}$

Schritt 1.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} < \frac{- 35}{5}$

Schritt 1.5.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 35}{5}$

Schritt 1.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.5.3.1

Dividiere $- 35$ durch $5$ .

$x < - 7$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $\frac{5}{7} x + 5$ negativ ist.

$- (\frac{5}{7} x + 5) > 10$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} \frac{5}{7} x + 5 > 10 & x \geq - 7 \\ - (\frac{5}{7} x + 5) > 10 & x < - 7 \end{cases}$

Schritt 1.8

Kombiniere $\frac{5}{7}$ und $x$ .

${\begin{cases} \frac{5 x}{7} + 5 > 10 & x \geq - 7 \\ - (\frac{5}{7} x + 5) > 10 & x < - 7 \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $- (\frac{5}{7} x + 5) > 10$ .

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Schritt 1.9.1

Kombiniere $\frac{5}{7}$ und $x$ .

${\begin{cases} \frac{5 x}{7} + 5 > 10 & x \geq - 7 \\ - (\frac{5 x}{7} + 5) > 10 & x < - 7 \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} \frac{5 x}{7} + 5 > 10 & x \geq - 7 \\ - \frac{5 x}{7} - 1 \cdot 5 > 10 & x < - 7 \end{cases}$

Schritt 1.9.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

${\begin{cases} \frac{5 x}{7} + 5 > 10 & x \geq - 7 \\ - \frac{5 x}{7} - 5 > 10 & x < - 7 \end{cases}$

Schritt 2

Löse $\frac{5 x}{7} + 5 > 10$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{5 x}{7} > 10 - 5$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $5$ von $10$ .

$\frac{5 x}{7} > 5$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten mit $7$ .

$\frac{5 x}{7} \cdot 7 > 5 \cdot 7$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{7} \cdot 7 > 5 \cdot 7$

Schritt 2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x > 5 \cdot 7$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$5 x > 35$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $5 x > 35$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x > 35$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} > \frac{35}{5}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} > \frac{35}{5}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{35}{5}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Dividiere $35$ durch $5$ .

$x > 7$

Schritt 3

Löse $- \frac{5 x}{7} - 5 > 10$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{5 x}{7} > 10 + 5$

Schritt 3.1.2

Addiere $10$ und $5$ .

$- \frac{5 x}{7} > 15$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{5 x}{7} > 15$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Term in $- \frac{5 x}{7} > 15$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- \frac{5 x}{7}}{- 1} < \frac{15}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{5 x}{7}}{1} < \frac{15}{- 1}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $\frac{5 x}{7}$ durch $1$ .

$\frac{5 x}{7} < \frac{15}{- 1}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $15$ durch $- 1$ .

$\frac{5 x}{7} < - 15$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten mit $7$ .

$\frac{5 x}{7} \cdot 7 < - 15 \cdot 7$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{7} \cdot 7 < - 15 \cdot 7$

Schritt 3.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x < - 15 \cdot 7$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 15$ mit $7$ .

$5 x < - 105$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $5 x < - 105$ durch $5$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x < - 105$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} < \frac{- 105}{5}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} < \frac{- 105}{5}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 105}{5}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Dividiere $- 105$ durch $5$ .

$x < - 21$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 21$ oder $x > 7$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 21 or x > 7$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 21) \cup (7, \infty)$

Schritt 6