Finite Mathematik Beispiele

∣ ∣ ∣ \frac{1}{8} - x ∣ ∣ ∣ < 3

$| \frac{1}{8} - x | < 3$

Schritt 1

Schreibe

∣ ∣ ∣ \frac{1}{8} - x ∣ ∣ ∣ < 3

$| \frac{1}{8} - x | < 3$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

\frac{1}{8} - x \geq 0

$\frac{1}{8} - x \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

- x \geq - \frac{1}{8}

$- x \geq - \frac{1}{8}$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in

- x \geq - \frac{1}{8}

$- x \geq - \frac{1}{8}$ durch

- 1

$- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in

- x \geq - \frac{1}{8}

$- x \geq - \frac{1}{8}$ durch

- 1

$- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

\frac{x}{1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

x \leq \frac{\frac{1}{8}}{1}

$x \leq \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Schritt 1.2.2.3.2

Dividiere

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ durch

1

$1$ .

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem

\frac{1}{8} - x

$\frac{1}{8} - x$ nicht negativ ist.

\frac{1}{8} - x < 3

$\frac{1}{8} - x < 3$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

\frac{1}{8} - x < 0

$\frac{1}{8} - x < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Subtrahiere

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

- x < - \frac{1}{8}

$- x < - \frac{1}{8}$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in

- x < - \frac{1}{8}

$- x < - \frac{1}{8}$ durch

- 1

$- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Term in

- x < - \frac{1}{8}

$- x < - \frac{1}{8}$ durch

- 1

$- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

\frac{- x}{- 1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

\frac{x}{1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{x}{1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Schritt 1.5.2.2.2

Dividiere

x

$x$ durch

1

$1$ .

x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

x > \frac{\frac{1}{8}}{1}

$x > \frac{\frac{1}{8}}{1}$

Schritt 1.5.2.3.2

Dividiere

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ durch

1

$1$ .

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit

- 1

$- 1$ in dem Teil, in dem

\frac{1}{8} - x

$\frac{1}{8} - x$ negativ ist.

- (\frac{1}{8} - x) < 3

$- (\frac{1}{8} - x) < 3$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

⎧ ⎨ ⎩ \begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - (\frac{1}{8} - x) < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - (\frac{1}{8} - x) < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache

- (\frac{1}{8} - x) < 3

$- (\frac{1}{8} - x) < 3$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

{\begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - \frac{1}{8} - - x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} - - x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Multipliziere

- - x

$- - x$ .

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Schritt 1.8.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

{\begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + 1 x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + 1 x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Schritt 1.8.2.2

Mutltipliziere

x

$x$ mit

1

$1$ .

{\begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

{\begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

{\begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

{\begin{matrix} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{matrix}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

Schritt 2

Löse

\frac{1}{8} - x < 3

$\frac{1}{8} - x < 3$ , wenn

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse

\frac{1}{8} - x < 3

$\frac{1}{8} - x < 3$ nach

x

$x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht

x

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Subtrahiere

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

- x < 3 - \frac{1}{8}

$- x < 3 - \frac{1}{8}$

Schritt 2.1.1.2

3

$3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

- x < 3 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}

$- x < 3 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.1.1.3

Kombiniere

3

$3$ und

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ .

- x < \frac{3 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}

$- x < \frac{3 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

- x < \frac{3 \cdot 8 - 1}{8}

$- x < \frac{3 \cdot 8 - 1}{8}$

Schritt 2.1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.1.5.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

8

$8$ .

- x < \frac{24 - 1}{8}

$- x < \frac{24 - 1}{8}$

Schritt 2.1.1.5.2

Subtrahiere

1

$1$ von

24

$24$ .

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$ durch

- 1

$- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Term in

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$ durch

$- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Schritt 2.1.2.2.2

Dividiere

$x$ durch

$1$ .

$x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von

$\frac{\frac{23}{8}}{- 1}$ .

$x > - 1 \cdot \frac{23}{8}$

Schritt 2.1.2.3.2

Schreibe

$- 1 \cdot \frac{23}{8}$ als

$- \frac{23}{8}$ um.

$x > - \frac{23}{8}$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von

$x > - \frac{23}{8}$ und

$x \leq \frac{1}{8}$ .

$- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}$

Schritt 3

Löse

$- \frac{1}{8} + x < 3$ , wenn

$x > \frac{1}{8}$ ergibt.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht

$x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere

$\frac{1}{8}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 3 + \frac{1}{8}$

Schritt 3.1.2

$3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{8}{8}$ .

$x < 3 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

Schritt 3.1.3

Kombiniere

$3$ und

$\frac{8}{8}$ .

$x < \frac{3 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

Schritt 3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x < \frac{3 \cdot 8 + 1}{8}$

Schritt 3.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere

$3$ mit

$8$ .

$x < \frac{24 + 1}{8}$

Schritt 3.1.5.2

Addiere

$24$ und

$1$ .

$x < \frac{25}{8}$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von

$x < \frac{25}{8}$ und

$x > \frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{23}{8}, \frac{25}{8})$

Schritt 6