Finite Mathematik Beispiele

$(\frac{1}{3} x + \frac{1}{5}) (\frac{1}{3} x - \frac{1}{2})$

Schritt 1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{1}{5}) (\frac{1}{3} x - \frac{1}{2})$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{1}{5}) (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$

Schritt 2

Multipliziere $(\frac{x}{3} + \frac{1}{5}) (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x}{3} (\frac{x}{3} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} (\frac{x}{3} - \frac{1}{2})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\frac{x}{3} \cdot \frac{x}{3}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x \cdot x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.1.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{x}{3} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $\frac{x}{3} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{3 \cdot 2} + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $\frac{1}{5} \cdot \frac{x}{3}$ .

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{x}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{5 \cdot 3} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{15} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $\frac{1}{5} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{15} - \frac{1}{5 \cdot 2}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} + \frac{x}{15} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.2

Um $- \frac{x}{6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{15} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.3

Um $\frac{x}{15}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{6} \cdot \frac{5}{5} + \frac{x}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $30$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{6}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{x}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{30} + \frac{x}{15} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{x}{15}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{30} + \frac{x \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$\frac{x^{2}}{9} - \frac{x \cdot 5}{30} + \frac{x \cdot 2}{30} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2}}{9} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.6

Um $\frac{x^{2}}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{10}{10}$ .

$\frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{10}{10} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.7

Um $\frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{10}{10} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.8

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $90$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{9}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{9 \cdot 10} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $9$ mit $10$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{90} + \frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.8.3

Mutltipliziere $\frac{- x \cdot 5 + x \cdot 2}{30}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{90} + \frac{(- x \cdot 5 + x \cdot 2) \cdot 3}{30 \cdot 3} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.8.4

Mutltipliziere $30$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} \cdot 10}{90} + \frac{(- x \cdot 5 + x \cdot 2) \cdot 3}{90} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 10 + (- x \cdot 5 + x \cdot 2) \cdot 3}{90} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.10

Stelle die Terme um.

$\frac{10 x^{2} + 3 (- x \cdot 5 + x \cdot 2)}{90} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.11

Vereinige $\frac{10 x^{2} + 3 (- x \cdot 5 + x \cdot 2)}{90}$ und $- \frac{1}{10}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 3.11.1

Stelle $x$ und $2$ um.

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{1}{10}$

Schritt 3.11.2

Um $- \frac{1}{10}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 3.11.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $90$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.11.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{9}{10 \cdot 9}$

Schritt 3.11.3.2

Mutltipliziere $10$ mit $9$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x)}{90} - \frac{9}{90}$

Schritt 3.11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 1 \cdot 5 x + 2 \cdot x) - 9}{90}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 5 x + 2 x) - 9}{90}$

Schritt 4.2

Addiere $- 5 x$ und $2 x$ .

$\frac{10 x^{2} + 3 (- 3 x) - 9}{90}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{10 x^{2} - 9 x - 9}{90}$

Schritt 4.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 10 \cdot - 9 = - 90$ und deren Summe gleich $b = - 9$ ist.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $- 9$ aus $- 9 x$ heraus.

$\frac{10 x^{2} - 9 (x) - 9}{90}$

Schritt 4.4.1.2

Schreibe $- 9$ um als $6$ plus $- 15$

$\frac{10 x^{2} + (6 - 15) x - 9}{90}$

Schritt 4.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{10 x^{2} + 6 x - 15 x - 9}{90}$

Schritt 4.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(10 x^{2} + 6 x) - 15 x - 9}{90}$

Schritt 4.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{2 x (5 x + 3) - 3 (5 x + 3)}{90}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x + 3$ .

$\frac{(5 x + 3) (2 x - 3)}{90}$