Finite Mathematik Beispiele

$\frac{(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) (x y)}{x + y}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Um $\frac{x}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x}) x y}{x + y}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{y}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y}) x y}{x + y}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{x}{y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{x \cdot x}{y x} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{y}) x y}{x + y}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(\frac{x \cdot x}{y x} - \frac{y \cdot y}{x y}) x y}{x + y}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $y x$ um.

$\frac{(\frac{x \cdot x}{x y} - \frac{y \cdot y}{x y}) x y}{x + y}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x \cdot x - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Schritt 1.5

Schreibe $\frac{x \cdot x - y \cdot y}{x y}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x^{1} x - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Schritt 1.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{x^{1} x^{1} - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Schritt 1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{x^{1 + 1} - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Schritt 1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{x^{2} - y \cdot y}{x y} x y}{x + y}$

Schritt 1.5.5

Schreibe $y \cdot y$ als $y^{2}$ um.

$\frac{\frac{x^{2} - y^{2}}{x y} x y}{x + y}$

Schritt 1.5.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{\frac{(x + y) (x - y)}{x y} x y}{x + y}$

Schritt 1.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.6.1

Kombiniere $\frac{(x + y) (x - y)}{x y}$ und $x$ .

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) x}{x y} y}{x + y}$

Schritt 1.6.2

Kombiniere $\frac{(x + y) (x - y) x}{x y}$ und $y$ .

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) x y}{x y}}{x + y}$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) x y}{x y}}{x + y}$

Schritt 1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) y}{y}}{x + y}$

Schritt 1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{(x + y) (x - y) y}{y}}{x + y}$

Schritt 1.8.2

Dividiere $(x + y) (x - y)$ durch $1$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x + y}$

Schritt 1.9

Multipliziere $(x + y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - y) + y (x - y)}{x + y}$

Schritt 1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x (- y) + y (x - y)}{x + y}$

Schritt 1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x (- y) + y x + y (- y)}{x + y}$

Schritt 1.10

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x (- y) + y x + y (- y)$ .

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Schritt 1.10.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x (- y)$ und $y x$ neu an.

$\frac{x \cdot x - x y + x y + y (- y)}{x + y}$

Schritt 1.10.2

Addiere $- x y$ und $x y$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + y (- y)}{x + y}$

Schritt 1.10.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$\frac{x \cdot x + y (- y)}{x + y}$

Schritt 1.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.11.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + y (- y)}{x + y}$

Schritt 1.11.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} - y \cdot y}{x + y}$

Schritt 1.11.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.11.3.1

Bewege $y$ .

$\frac{x^{2} - (y \cdot y)}{x + y}$

Schritt 1.11.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x + y}$

Schritt 1.12

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x + y}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + y$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x + y}$

Schritt 2.2

Dividiere $x - y$ durch $1$ .

$x - y$