Finite Mathematik Beispiele

\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen,

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

Schritt 3

Löse nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs. Setze dies gleich dem Produkt aus dem Nenner des ersten Bruchs und dem Zähler des zweiten Bruchs.

(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung nach

x

$x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache

(x - 2) x

$(x - 2) x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Forme um.

0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

Schritt 3.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere

x

$x$ mit

x

$x$ .

x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere

2 x + 1

$2 x + 1$ mit

1

$1$ .

x^{2} - 2 x = 2 x + 1

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

Schritt 3.2.3

Bringe alle Terme, die

x

$x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere

2 x

$2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

x^{2} - 2 x - 2 x = 1

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere

2 x

$2 x$ von

- 2 x

$- 2 x$ .

x^{2} - 4 x = 1

$x^{2} - 4 x = 1$

x^{2} - 4 x = 1

$x^{2} - 4 x = 1$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere

1

$1$ von beiden Seiten der Gleichung.

x^{2} - 4 x - 1 = 0

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Schritt 3.2.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.2.6

Setze die Werte

a = 1

$a = 1$ ,

b = - 4

$b = - 4$ und

c = - 1

$c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach

x

$x$ auf.

\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.7

Vereinfache.

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Schritt 3.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.7.1.1

Potenziere

- 4

$- 4$ mit

2

$2$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.7.1.2

Multipliziere

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.2.7.1.2.1

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

1

$1$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.7.1.2.2

Mutltipliziere

- 4

$- 4$ mit

- 1

$- 1$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.7.1.3

Addiere

16

$16$ und

4

$4$ .

x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.7.1.4

Schreibe

20

$20$ als

2^{2} \cdot 5

$2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.2.7.1.4.1

Faktorisiere

4

$4$ aus

20

$20$ heraus.

x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.7.1.4.2

Schreibe

4

$4$ als

2^{2}

$2^{2}$ um.

x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2.7.2

Mutltipliziere

2

$2$ mit

1

$1$ .

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.2.7.3

Vereinfache

\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

x = 2 \pm \sqrt{5}

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

x = 2 \pm \sqrt{5}

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Schritt 3.2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die

\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ nicht erfüllen.

x = 2 + \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

x = 2 + \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}$

Dezimalform:

x = 4.23606797 \dots

$x = 4.23606797 \dots$