Finite Mathematik Beispiele

$5 \ln (8 x) = 20 - 2 \ln (x)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$5 \ln (8 x) + 2 \ln (x) = 20$

Schritt 2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1

Vereinfache $5 \ln (8 x) + 2 \ln (x)$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Vereinfache $5 \ln (8 x)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({(8 x)}^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $8 x$ an.

$\ln (8^{5} x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $8$ mit $5$ .

$\ln (32768 x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

Schritt 2.1.1.4

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (32768 x^{5}) + \ln (x^{2}) = 20$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (32768 x^{5} x^{2}) = 20$

Schritt 2.1.3

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\ln (32768 (x^{2} x^{5})) = 20$

Schritt 2.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (32768 x^{2 + 5}) = 20$

Schritt 2.1.3.3

Addiere $2$ und $5$ .

$\ln (32768 x^{7}) = 20$

Schritt 3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (32768 x^{7})} = e^{20}$

Schritt 4

Schreibe $\ln (32768 x^{7}) = 20$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{20} = 32768 x^{7}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $32768 x^{7} = e^{20}$ um.

$32768 x^{7} = e^{20}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $32768 x^{7} = e^{20}$ durch $32768$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $32768 x^{7} = e^{20}$ durch $32768$ .

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32768$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $x^{7}$ durch $1$ .

$x^{7} = \frac{e^{20}}{32768}$

Schritt 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$

Schritt 5.4

Vereinfache $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ .

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Schritt 5.4.1

Schreibe $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ als $\frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.2.1

Schreibe $e^{20}$ als ${(e^{2})}^{7} e^{6}$ um.

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Schritt 5.4.2.1.1

Faktorisiere $e^{14}$ aus.

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{14} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Schreibe $e^{14}$ als ${(e^{2})}^{7}$ um.

$x = \frac{\sqrt[7]{{(e^{2})}^{7} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Schritt 5.4.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.3.1

Schreibe $32768$ als $4^{7} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.4.3.1.1

Faktorisiere $16384$ aus $32768$ heraus.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{16384 (2)}}$

Schritt 5.4.3.1.2

Schreibe $16384$ als $4^{7}$ um.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{4^{7} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$

Schritt 5.4.4

Mutltipliziere $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$

Schritt 5.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6}}$

Schritt 5.4.5.2

Bewege $\sqrt[7]{2}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 (\sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

Schritt 5.4.5.3

Potenziere $\sqrt[7]{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 ({\sqrt[7]{2}}^{1} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

Schritt 5.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{1 + 6}}$

Schritt 5.4.5.5

Addiere $1$ und $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{7}}$

Schritt 5.4.5.6

Schreibe ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ als $2$ um.

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Schritt 5.4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{2}$ als $2^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {(2^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

Schritt 5.4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

Schritt 5.4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

Schritt 5.4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

Schritt 5.4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{1}}$

Schritt 5.4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.6.1

Schreibe ${\sqrt[7]{2}}^{6}$ als $\sqrt[7]{2^{6}}$ um.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{2^{6}}}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.4.6.2

Potenziere $2$ mit $6$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{64}}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.4.6.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{4 \cdot 2}$

Schritt 5.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

Dezimalform:

$x = 3.94254900 \dots$