Finite Mathematik Beispiele

$3 x^{2} + 2 x - 8 < 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$3 x^{2} + 2 (x) - 8 = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $2$ um als $- 4$ plus $6$

$3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8 = 0$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8 = 0$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x + 2) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $3 x - 4$ gleich $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Schritt 4.2

Löse $3 x - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 4$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Schritt 5

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 4) (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{4}{3}, - 2$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 8 < 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $32$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 8 < 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $- 8$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 {(4)}^{2} + 2 (4) - 8 < 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $48$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Wahr

$x > \frac{4}{3}$ Falsch

$x < - 2$ Falsch

$- 2 < x < \frac{4}{3}$ Wahr

$x > \frac{4}{3}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 2 < x < \frac{4}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- 2, \frac{4}{3})$

Schritt 11