Finite Mathematik Beispiele

$3 - \sqrt{3} + 1 > (3 \sqrt{3} + 2) x$

Schritt 1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$(3 \sqrt{3} + 2) x < 3 - \sqrt{3} + 1$

Schritt 2

Addiere $3$ und $1$ .

$(3 \sqrt{3} + 2) x < 4 - \sqrt{3}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $(3 \sqrt{3} + 2) x < 4 - \sqrt{3}$ durch $3 \sqrt{3} + 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $(3 \sqrt{3} + 2) x < 4 - \sqrt{3}$ durch $3 \sqrt{3} + 2$ .

$\frac{(3 \sqrt{3} + 2) x}{3 \sqrt{3} + 2} < \frac{4}{3 \sqrt{3} + 2} + \frac{- \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 \sqrt{3} + 2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 \sqrt{3} + 2) x}{3 \sqrt{3} + 2} < \frac{4}{3 \sqrt{3} + 2} + \frac{- \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{4}{3 \sqrt{3} + 2} + \frac{- \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x < \frac{4 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $\frac{4 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$ mit $\frac{3 \sqrt{3} - 2}{3 \sqrt{3} - 2}$ .

$x < \frac{4 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2} \cdot \frac{3 \sqrt{3} - 2}{3 \sqrt{3} - 2}$

Schritt 3.3.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{4 - \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} + 2}$ mit $\frac{3 \sqrt{3} - 2}{3 \sqrt{3} - 2}$ .

$x < \frac{(4 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - 2)}{(3 \sqrt{3} + 2) (3 \sqrt{3} - 2)}$

Schritt 3.3.3.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$x < \frac{(4 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - 2)}{9 {\sqrt{3}}^{2} - 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - 4}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache.

$x < \frac{(4 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - 2)}{23}$

Schritt 3.3.4

Multipliziere $(4 - \sqrt{3}) (3 \sqrt{3} - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x < \frac{4 (3 \sqrt{3} - 2) - \sqrt{3} (3 \sqrt{3} - 2)}{23}$

Schritt 3.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x < \frac{4 (3 \sqrt{3}) + 4 \cdot - 2 - \sqrt{3} (3 \sqrt{3} - 2)}{23}$

Schritt 3.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x < \frac{4 (3 \sqrt{3}) + 4 \cdot - 2 - \sqrt{3} (3 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} + 4 \cdot - 2 - \sqrt{3} (3 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - \sqrt{3} (3 \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.3

Multipliziere $- \sqrt{3} (3 \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.3.5.1.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \sqrt{3} \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 {\sqrt{3}}^{2} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.3.5.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.5.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3^{1} - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 3 \cdot 3 - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 9 - \sqrt{3} \cdot - 2}{23}$

Schritt 3.3.5.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x < \frac{12 \sqrt{3} - 8 - 9 + 2 \sqrt{3}}{23}$

Schritt 3.3.5.2

Addiere $12 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$x < \frac{- 8 - 9 + 14 \sqrt{3}}{23}$

Schritt 3.3.5.3

Subtrahiere $9$ von $- 8$ .

$x < \frac{- 17 + 14 \sqrt{3}}{23}$

Schritt 3.3.6

Schreibe $- 17$ als $- 1 (17)$ um.

$x < \frac{- 1 (17) + 14 \sqrt{3}}{23}$

Schritt 3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $14 \sqrt{3}$ heraus.

$x < \frac{- 1 (17) - (- 14 \sqrt{3})}{23}$

Schritt 3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (17) - (- 14 \sqrt{3})$ heraus.

$x < \frac{- 1 (17 - 14 \sqrt{3})}{23}$

Schritt 3.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x < - \frac{17 - 14 \sqrt{3}}{23}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \frac{17 - 14 \sqrt{3}}{23}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{17 - 14 \sqrt{3}}{23})$