Finite Mathematik Beispiele

$35 = \frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$ um.

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Schritt 2

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $- 5$ um als $- 1$ plus $- 4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 - 4) x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 1 x - 4 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) - 4 x + 2}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 16} = 35$

Schritt 2.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 8 x + 4^{2}} = 35$

Schritt 2.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 2.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}} = 35$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$

Schritt 3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

${(x + 4)}^{2}, 1$

Schritt 3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

${(x + 4)}^{2}$

Schritt 4

Multipliziere jeden Term in $\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$ mit ${(x + 4)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} = 35$ mit ${(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} {(x + 4)}^{2} = 35 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 4)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x - 1) (x - 2)}{{(x + 4)}^{2}} {(x + 4)}^{2} = 35 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(2 x - 1) (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $(2 x - 1) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x (x - 2) - 1 (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 4.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 (x - 2) = 35 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 4.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 4.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 4.2.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot - 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 4.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x - x + 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 4.2.3.2

Subtrahiere $x$ von $- 4 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 5

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache $35 {(x + 4)}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 + 0 + 35 {(x + 4)}^{2}$

Schritt 5.1.2

Schreibe ${(x + 4)}^{2}$ als $(x + 4) (x + 4)$ um.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 ((x + 4) (x + 4))$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $(x + 4) (x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x (x + 4) + 4 (x + 4))$

Schritt 5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4))$

Schritt 5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

Schritt 5.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4)$

Schritt 5.1.4.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4)$

Schritt 5.1.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16)$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 (x^{2} + 8 x + 16)$

Schritt 5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 35 (8 x) + 35 \cdot 16$

Schritt 5.1.6

Vereinfache.

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Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $8$ mit $35$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 280 x + 35 \cdot 16$

Schritt 5.1.6.2

Mutltipliziere $35$ mit $16$ .

$2 x^{2} - 5 x + 2 = 35 x^{2} + 280 x + 560$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $35 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 5 x + 2 - 35 x^{2} = 280 x + 560$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $280 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - 5 x + 2 - 35 x^{2} - 280 x = 560$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $35 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$- 33 x^{2} - 5 x + 2 - 280 x = 560$

Schritt 5.2.4

Subtrahiere $280 x$ von $- 5 x$ .

$- 33 x^{2} - 285 x + 2 = 560$

Schritt 5.3

Subtrahiere $560$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 33 x^{2} - 285 x + 2 - 560 = 0$

Schritt 5.4

Subtrahiere $560$ von $2$ .

$- 33 x^{2} - 285 x - 558 = 0$

Schritt 5.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 33 x^{2} - 285 x - 558$ heraus.

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Schritt 5.5.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 33 x^{2}$ heraus.

$- 3 (11 x^{2}) - 285 x - 558 = 0$

Schritt 5.5.1.2

Faktorisiere $- 3$ aus $- 285 x$ heraus.

$- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x) - 558 = 0$

Schritt 5.5.1.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 558$ heraus.

$- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x) - 3 \cdot 186 = 0$

Schritt 5.5.1.4

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (11 x^{2}) - 3 (95 x)$ heraus.

$- 3 (11 x^{2} + 95 x) - 3 \cdot 186 = 0$

Schritt 5.5.1.5

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (11 x^{2} + 95 x) - 3 (186)$ heraus.

$- 3 (11 x^{2} + 95 x + 186) = 0$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.5.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.5.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 11 \cdot 186 = 2046$ und deren Summe gleich $b = 95$ ist.

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Schritt 5.5.2.1.1.1

Faktorisiere $95$ aus $95 x$ heraus.

$- 3 (11 x^{2} + 95 (x) + 186) = 0$

Schritt 5.5.2.1.1.2

Schreibe $95$ um als $33$ plus $62$

$- 3 (11 x^{2} + (33 + 62) x + 186) = 0$

Schritt 5.5.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 (11 x^{2} + 33 x + 62 x + 186) = 0$

Schritt 5.5.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.5.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- 3 ((11 x^{2} + 33 x) + 62 x + 186) = 0$

Schritt 5.5.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- 3 (11 x (x + 3) + 62 (x + 3)) = 0$

Schritt 5.5.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 3$ .

$- 3 ((x + 3) (11 x + 62)) = 0$

Schritt 5.5.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 (x + 3) (11 x + 62) = 0$

Schritt 5.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$11 x + 62 = 0$

Schritt 5.7

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.7.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 5.7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5.8

Setze $11 x + 62$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.1

Setze $11 x + 62$ gleich $0$ .

$11 x + 62 = 0$

Schritt 5.8.2

Löse $11 x + 62 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.8.2.1

Subtrahiere $62$ von beiden Seiten der Gleichung.

$11 x = - 62$

Schritt 5.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $11 x = - 62$ durch $11$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $11 x = - 62$ durch $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 62}{11}$

Schritt 5.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 5.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 x}{11} = \frac{- 62}{11}$

Schritt 5.8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 62}{11}$

Schritt 5.8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{62}{11}$

Schritt 5.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 3 (x + 3) (11 x + 62) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, - \frac{62}{11}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - 3, - \frac{62}{11}$

Dezimalform:

$x = - 3, - 5.\overline{63}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$x = - 3, - 5 \frac{7}{11}$