Finite Mathematik Beispiele

$4 (x^{2} - 16 x + 64) + 9 y^{2} = 36$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} + 4 (- 16 x) + 4 \cdot 64 + 9 y^{2} = 36$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $4$ .

$4 x^{2} - 64 x + 4 \cdot 64 + 9 y^{2} = 36$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$4 x^{2} - 64 x + 256 + 9 y^{2} = 36$

Schritt 2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 64 x + 256 + 9 y^{2} - 36 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $36$ von $256$ .

$4 x^{2} - 64 x + 9 y^{2} + 220 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 64$ und $c = 9 y^{2} + 220$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{64 \pm \sqrt{{(- 64)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot (9 y^{2} + 220))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 64$ mit $2$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{4096 - 4 \cdot 4 \cdot (9 y^{2} + 220)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{4096 - 16 \cdot (9 y^{2} + 220)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{64 \pm \sqrt{4096 - 16 (9 y^{2}) - 16 \cdot 220}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $- 16$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{4096 - 144 y^{2} - 16 \cdot 220}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $- 16$ mit $220$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{4096 - 144 y^{2} - 3520}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.6

Subtrahiere $3520$ von $4096$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{- 144 y^{2} + 576}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $- 144 y^{2} + 576$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $144$ aus $- 144 y^{2} + 576$ heraus.

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Schritt 5.1.7.1.1

Faktorisiere $144$ aus $- 144 y^{2}$ heraus.

$x = \frac{64 \pm \sqrt{144 (- y^{2}) + 576}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7.1.2

Faktorisiere $144$ aus $576$ heraus.

$x = \frac{64 \pm \sqrt{144 (- y^{2}) + 144 (4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7.1.3

Faktorisiere $144$ aus $144 (- y^{2}) + 144 (4)$ heraus.

$x = \frac{64 \pm \sqrt{144 (- y^{2} + 4)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{64 \pm \sqrt{144 (- y^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7.3

Stelle $- y^{2}$ und $2^{2}$ um.

$x = \frac{64 \pm \sqrt{144 (2^{2} - y^{2})}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.7.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = y$ .

$x = \frac{64 \pm \sqrt{144 (2 + y) (2 - y)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.8

Schreibe $144 (2 + y) (2 - y)$ als $12^{2} ((2 + y) (2 - y))$ um.

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Schritt 5.1.8.1

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \frac{64 \pm \sqrt{12^{2} (2 + y) (2 - y)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.8.2

Füge Klammern hinzu.

$x = \frac{64 \pm \sqrt{12^{2} ((2 + y) (2 - y))}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{64 \pm 12 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{64 \pm 12 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{8}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{64 \pm 12 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{8}$ .

$x = \frac{16 \pm 3 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{16 + 3 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{2}$

$x = \frac{16 - 3 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{2}$