Finite Mathematik Beispiele

$\frac{x - 2}{3} < \frac{5}{x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{5}{x}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x} < 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x - 2}{3} - \frac{5}{x}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{x - 2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} < 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{5}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x - 2}{3} \cdot \frac{x}{x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{x - 2}{3}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5}{x} \cdot \frac{3}{3} < 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{x}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{x \cdot 3} < 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $x \cdot 3$ um.

$\frac{(x - 2) x}{3 x} - \frac{5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 2) x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 5 \cdot 3}{3 x} < 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 15}{3 x} < 0$

Schritt 2.5.4

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 15$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.5.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 15$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 5, 3$

Schritt 2.5.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x} < 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$3 x = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 5

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 6

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = 5$

$x = - 3$

Schritt 8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, 5, - 3$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ .

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Schritt 9.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 5) (x + 3)}{3 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x = 0$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x = 0$

Schritt 9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 6) - 2}{3} < \frac{5}{- 6}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $- 2.\overline{6}$ ist kleiner als die rechte Seite $- 0.8\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 2) - 2}{3} < \frac{5}{- 2}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 1.\overline{3}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 2.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(2) - 2}{3} < \frac{5}{2}$

Schritt 11.3.3

Die linke Seite $0$ ist kleiner als die rechte Seite $2.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 11.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(8) - 2}{3} < \frac{5}{8}$

Schritt 11.4.3

Die linke Seite $2$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.625$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 5$ Wahr

$x > 5$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 3$ oder $0 < x < 5$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 3 or 0 < x < 5$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (0, 5)$

Schritt 14