Finite Mathematik Beispiele

${(\frac{3}{4})}^{x} = \frac{64}{27}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(\frac{3}{4})}^{x}) = \ln (\frac{64}{27})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(\frac{3}{4})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (\frac{3}{4}) = \ln (\frac{64}{27})$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (\frac{3}{4})$ als $\ln (3) - \ln (4)$ um.

$x (\ln (3) - \ln (4)) = \ln (\frac{64}{27})$

Schritt 2.3

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$x (\ln (3) - \ln (2^{2})) = \ln (\frac{64}{27})$

Schritt 2.4

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$x (\ln (3) - (2 \ln (2))) = \ln (\frac{64}{27})$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $x (\ln (3) - 2 \ln (2))$ .

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Schritt 3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (3) + x (- 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$

Schritt 3.1.2

Stelle die Faktoren in $x \ln (3) + x (- 2 \ln (2))$ um.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = \ln (\frac{64}{27})$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - \ln (\frac{64}{27}) = 0$

Schritt 5

Addiere $\ln (\frac{64}{27})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = \ln (\frac{64}{27})$

Schritt 6

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3) - 2 x \ln (2)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (3)$ heraus.

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (2) = \ln (\frac{64}{27})$

Schritt 6.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x \ln (2)$ heraus.

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$

Schritt 6.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2))$ heraus.

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$ durch $\ln (3) - 2 \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = \ln (\frac{64}{27})$ durch $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{\ln (\frac{64}{27})}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{\ln (\frac{64}{27})}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{64}{27})}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (\frac{64}{27})}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Dezimalform:

$x = - 3$