Finite Mathematik Beispiele

$2 x^{6} - 5 x^{3} - 12 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

$2 {(x^{3})}^{2} - 5 x^{3} - 12 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 u$ heraus.

$2 u^{2} - 5 u - 12 = 0$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $- 5$ um als $3$ plus $- 8$

$2 u^{2} + (3 - 8) u - 12 = 0$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 u^{2} + 3 u - 8 u - 12 = 0$

Schritt 1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 u^{2} + 3 u) - 8 u - 12 = 0$

Schritt 1.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (2 u + 3) - 4 (2 u + 3) = 0$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 u + 3$ .

$(2 u + 3) (u - 4) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x^{3} + 3 = 0$

$x^{3} - 4 = 0$

Schritt 3

Setze $2 x^{3} + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 x^{3} + 3$ gleich $0$ .

$2 x^{3} + 3 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 x^{3} + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} = - 3$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{3} = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{3} = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{3} = - \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{3}{2}}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Schreibe $- \frac{3}{2}$ als ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}$ um.

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Schritt 3.2.4.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Schritt 3.2.4.4

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 3.2.4.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = - (\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Schritt 3.2.4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.2.4.6.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 3.2.4.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 3.2.4.6.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 3.2.4.6.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 3.2.4.6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 3.2.4.6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 3.2.4.6.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.2.4.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.4.6.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 3.2.4.6.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.2.4.6.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 3.2.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.7.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 3.2.4.7.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 3.2.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = - \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2}$

Schritt 3.2.4.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}$

Schritt 4

Setze $x^{3} - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{3} - 4$ gleich $0$ .

$x^{3} - 4 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{3} - 4 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 4$

Schritt 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{4}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x^{3} + 3) (x^{3} - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \sqrt[3]{4}$

Dezimalform:

$x = - 1.14471424 \dots, 1.58740105 \dots$