Finite Mathematik Beispiele

$5 - \frac{3}{a} < \frac{7}{a}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $a$ .

$(5 - \frac{3}{a}) a = \frac{7}{a} a$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Vereinfache $(5 - \frac{3}{a}) a$ .

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 a - \frac{3}{a} a = \frac{7}{a} a$

Schritt 2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{a}$ in den Zähler.

$5 a + \frac{- 3}{a} a = \frac{7}{a} a$

Schritt 2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 a + \frac{- 3}{a} a = \frac{7}{a} a$

Schritt 2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 a - 3 = \frac{7}{a} a$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 a - 3 = \frac{7}{a} a$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 a - 3 = 7$

Schritt 3

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 a = 7 + 3$

Schritt 3.1.2

Addiere $7$ und $3$ .

$5 a = 10$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $5 a = 10$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 a = 10$ durch $5$ .

$\frac{5 a}{5} = \frac{10}{5}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 a}{5} = \frac{10}{5}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{10}{5}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $10$ durch $5$ .

$a = 2$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $5 - \frac{10}{a}$ .

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{10}{a}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a = 0$

Schritt 4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $a$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$a < 0$

$0 < a < 2$

$a > 2$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $a < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $a < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = - 2$

Schritt 6.1.2

Ersetze $a$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 - \frac{3}{- 2} < \frac{7}{- 2}$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $6.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 3.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < a < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < a < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = 1$

Schritt 6.2.2

Ersetze $a$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 - \frac{3}{1} < \frac{7}{1}$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $2$ ist kleiner als die rechte Seite $7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $a > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $a > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$a = 4$

Schritt 6.3.2

Ersetze $a$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 - \frac{3}{4} < \frac{7}{4}$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $4.25$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1.75$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$a < 0$ Falsch

$0 < a < 2$ Wahr

$a > 2$ Falsch

$a < 0$ Falsch

$0 < a < 2$ Wahr

$a > 2$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < a < 2$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < a < 2$

Intervallschreibweise:

$(0, 2)$

Schritt 9