Finite Mathematik Beispiele

$\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$

Schritt 1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x - b, x - a, 1$

Schritt 1.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 1.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.4

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 1.5

Der Teiler von $x - b$ ist $x - b$ selbst.

$(x - b) = x - b$

$(x - b)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.6

Der Teiler von $x - a$ ist $x - a$ selbst.

$(x - a) = x - a$

$(x - a)$ occurs $1$ time.

Schritt 1.7

Das kgV von $x - b, x - a$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x - b) (x - a)$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ mit $(x - b) (x - a)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ mit $(x - b) (x - a)$ .

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - b$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$a (x - a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a x + a (- a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a x - a \cdot a + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.2.1.4

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.4.1

Bewege $a$ .

$a x - (a \cdot a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.2.1.4.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - a$ .

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Schritt 2.2.1.5.1

Faktorisiere $x - a$ aus $(x - b) (x - a)$ heraus.

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$a x - a^{2} + b (x - b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$a x - a^{2} + b x + b (- b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.2.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a x - a^{2} + b x - b \cdot b = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.2.1.8

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.8.1

Bewege $b$ .

$a x - a^{2} + b x - (b \cdot b) = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.2.1.8.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 ((x - b) (x - a))$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere $(x - b) (x - a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x (x - a) - b (x - a))$

Schritt 2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b (x - a))$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b x - b (- a))$

Schritt 2.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} + x (- a) - b x - b (- a))$

Schritt 2.3.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - b (- a))$

Schritt 2.3.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - 1 \cdot - 1 b a)$

Schritt 2.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + 1 b a)$

Schritt 2.3.2.1.5

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + b a)$

Schritt 2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} + 2 (- x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) - 2 (b x) + 2 b a$

Schritt 2.3.4

Entferne die Klammern.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 x a - 2 b x + 2 b a$

Schritt 3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die $a$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Addiere $2 x a$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a = 2 x^{2} - 2 b x + 2 b a$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $2 b a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Schritt 3.1.3

Addiere $a x$ und $2 x a$ .

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Schritt 3.1.3.1

Bewege $x$ .

$- a^{2} + b x - b^{2} + a x + 2 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Schritt 3.1.3.2

Addiere $a x$ und $2 a x$ .

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} = - 2 b x$

Schritt 3.2.1.2

Addiere $2 b x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 2 b x = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $b x$ und $2 b x$ .

$- a^{2} - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 3 b x = 0$

Schritt 3.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 3 x - 2 b$ und $c = - b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{- (3 x - 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x))}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- (3 x) - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe ${(3 x - 2 b)}^{2}$ als $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ um.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{(3 x - 2 b) (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.5

Multipliziere $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.5.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x - 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.6.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.6.1.2.1

Bewege $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 \cdot (- 2 x b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 \cdot (3 b x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6.1.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b \cdot b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6.1.9

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.6.1.9.1

Bewege $b$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 (b \cdot b)) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6.1.9.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b^{2}) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6.1.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6.2

Subtrahiere $6 b x$ von $- 6 x b$ .

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Schritt 3.5.1.6.2.1

Bewege $x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 b x - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.6.2.2

Subtrahiere $6 b x$ von $- 6 b x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 (- b^{2}) + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.9

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.9.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 12 (b x)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.10

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $9 x^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{- 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 12 b x}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.11

Addiere $- 12 b x$ und $12 b x$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 0}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.12

Addiere $4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}$ und $0$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.13

Subtrahiere $4 b^{2}$ von $4 b^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{0 + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.14

Addiere $0$ und $x^{2}$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.1.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$ .

$a = \frac{3 x - 2 b \pm x}{2}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$