Finite Mathematik Beispiele

${(4 a^{b})}^{c} = 1024 a^{6 b}$

Schritt 1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln ({(4 a^{b})}^{c}) = \ln (1024 a^{6 b})$

Schritt 2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.1

Zerlege $\ln ({(4 a^{b})}^{c})$ durch Herausziehen von $c$ aus dem Logarithmus.

$c \ln (4 a^{b}) = \ln (1024 a^{6 b})$

Schritt 2.2

Schreibe $\ln (4 a^{b})$ als $\ln (4) + \ln (a^{b})$ um.

$c (\ln (4) + \ln (a^{b})) = \ln (1024 a^{6 b})$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (a^{b})$ durch Herausziehen von $b$ aus dem Logarithmus.

$c (\ln (4) + b \ln (a)) = \ln (1024 a^{6 b})$

Schritt 3

Multipliziere die rechte Seite aus.

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Schritt 3.1

Schreibe $\ln (1024 a^{6 b})$ als $\ln (1024) + \ln (a^{6 b})$ um.

$c (\ln (4) + b \ln (a)) = \ln (1024) + \ln (a^{6 b})$

Schritt 3.2

Zerlege $\ln (a^{6 b})$ durch Herausziehen von $6 b$ aus dem Logarithmus.

$c (\ln (4) + b \ln (a)) = \ln (1024) + 6 b \ln (a)$

Schritt 4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$c \ln (4) + c b \ln (a) = \ln (1024) + 6 b \ln (a)$

Schritt 5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1

Stelle $c$ und $b$ um.

$c \ln (4) + b c \ln (a) = \ln (1024) + 6 b \ln (a)$

Schritt 5.2

Stelle $c \ln (4)$ und $b c \ln (a)$ um.

$b c \ln (a) + c \ln (4) = \ln (1024) + 6 b \ln (a)$

Schritt 6

Stelle $\ln (1024)$ und $6 b \ln (a)$ um.

$b c \ln (a) + c \ln (4) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$

Schritt 7

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$b c \ln (a) + c \ln (4) - 6 b \ln (a) - \ln (1024) = 0$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die nicht $c$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Addiere $6 b \ln (a)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b c \ln (a) + c \ln (4) - \ln (1024) = 6 b \ln (a)$

Schritt 8.2

Addiere $\ln (1024)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b c \ln (a) + c \ln (4) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$

Schritt 9

Faktorisiere $c$ aus $b c \ln (a) + c \ln (4)$ heraus.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $c$ aus $b c \ln (a)$ heraus.

$c (b \ln (a)) + c \ln (4) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$

Schritt 9.2

Faktorisiere $c$ aus $c \ln (4)$ heraus.

$c (b \ln (a)) + c (\ln (4)) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$

Schritt 9.3

Faktorisiere $c$ aus $c (b \ln (a)) + c (\ln (4))$ heraus.

$c (b \ln (a) + \ln (4)) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $c (b \ln (a) + \ln (4)) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$ durch $b \ln (a) + \ln (4)$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $c (b \ln (a) + \ln (4)) = 6 b \ln (a) + \ln (1024)$ durch $b \ln (a) + \ln (4)$ .

$\frac{c (b \ln (a) + \ln (4))}{b \ln (a) + \ln (4)} = \frac{6 b \ln (a)}{b \ln (a) + \ln (4)} + \frac{\ln (1024)}{b \ln (a) + \ln (4)}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b \ln (a) + \ln (4)$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{c (b \ln (a) + \ln (4))}{b \ln (a) + \ln (4)} = \frac{6 b \ln (a)}{b \ln (a) + \ln (4)} + \frac{\ln (1024)}{b \ln (a) + \ln (4)}$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $c$ durch $1$ .

$c = \frac{6 b \ln (a)}{b \ln (a) + \ln (4)} + \frac{\ln (1024)}{b \ln (a) + \ln (4)}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$c = \frac{6 b \ln (a) + \ln (1024)}{b \ln (a) + \ln (4)}$