Finite Mathematik Beispiele

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Schritt 1

Subtrahiere $100$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100 > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{5 t}{t^{2} + 1} + 98.6 - 100$ .

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $98.6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} - 100 > 0$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{98.6}{1}$ mit $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{98.6}{1}$ mit $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} - 100 > 0$

Schritt 2.1.4

Schreibe $- 100$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} > 0$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{- 100}{1}$ mit $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100}{1} \cdot \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $\frac{- 100}{1}$ mit $\frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1}$ .

$\frac{5 t}{t^{2} + 1} + \frac{98.6 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} + \frac{- 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 t + 98.6 (t^{2} + 1) - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 \cdot 1 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $98.6$ mit $1$ .

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 (t^{2} + 1)}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100 \cdot 1}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 100$ mit $1$ .

$\frac{5 t + 98.6 t^{2} + 98.6 - 100 t^{2} - 100}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.4

Subtrahiere $100 t^{2}$ von $98.6 t^{2}$ .

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} + 98.6 - 100}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $100$ von $98.6$ .

$\frac{5 t - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $0.2$ aus $5 t - 1.4 t^{2} - 1.4$ heraus.

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Schritt 2.6.1.1

Faktorisiere $0.2$ aus $5 t$ heraus.

$\frac{0.2 (25 t) - 1.4 t^{2} - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.6.1.2

Faktorisiere $0.2$ aus $- 1.4 t^{2}$ heraus.

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) - 1.4}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.6.1.3

Faktorisiere $0.2$ aus $- 1.4$ heraus.

$\frac{0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.6.1.4

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2 (25 t) + 0.2 (- 7 t^{2})$ heraus.

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.6.1.5

Faktorisiere $0.2$ aus $0.2 (25 t - 7 t^{2}) + 0.2 (- 7)$ heraus.

$\frac{0.2 (25 t - 7 t^{2} - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{0.2 (- 7 t^{2} + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 t^{2}$ heraus.

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) + 25 t - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $25 t$ heraus.

$\frac{0.2 (- (7 t^{2}) - (- 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 t^{2}) - (- 25 t)$ heraus.

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.10

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7))}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 t^{2} - 25 t) - 1 (7)$ heraus.

$\frac{0.2 (- (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.12

Schreibe $- (7 t^{2} - 25 t + 7)$ als $- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7)$ um.

$\frac{0.2 (- 1 (7 t^{2} - 25 t + 7))}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{0.2 (7 t^{2} - 25 t + 7)}{t^{2} + 1} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$7 t^{2} - 25 t + 7 = 0$

$t^{2} + 1 = 0$

Schritt 4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5

Setze die Werte $a = 7$ , $b = - 25$ und $c = 7$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 7)}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 25$ mit $2$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 7 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 7 \cdot 7$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 28 \cdot 7}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 28$ mit $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 196}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $196$ von $625$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{2 \cdot 7}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$t = \frac{25 \pm \sqrt{429}}{14}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

Schritt 8

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t^{2} = - 1$

Schritt 9

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 10

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$t = \pm i$

Schritt 11

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$t = i$

Schritt 11.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$t = - i$

Schritt 11.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$t = i, - i$

Schritt 12

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$t = i, - i$

Schritt 13

Fasse die Lösungen zusammen.

$t = \frac{25 + \sqrt{429}}{14}, \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

Schritt 14

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Schritt 15

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 15.1

Teste einen Wert im Intervall $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$t = 0$

Schritt 15.1.2

Ersetze $t$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Schritt 15.1.3

Die linke Seite $98.6$ ist nicht größer als die rechte Seite $100$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 15.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$t = 2$

Schritt 15.2.2

Ersetze $t$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (2)}{{(2)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Schritt 15.2.3

Die linke Seite $100.6$ ist größer als die rechte Seite $100$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 15.3

Teste einen Wert im Intervall $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$t = 6$

Schritt 15.3.2

Ersetze $t$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5 (6)}{{(6)}^{2} + 1} + 98.6 > 100$

Schritt 15.3.3

Die linke Seite $99.4\overline{108}$ ist nicht größer als die rechte Seite $100$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 15.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ Falsch

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Wahr

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Falsch

$t < \frac{25 - \sqrt{429}}{14}$ Falsch

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Wahr

$t > \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$ Falsch

Schritt 16

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{25 - \sqrt{429}}{14} < t < \frac{25 + \sqrt{429}}{14}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{25 - \sqrt{429}}{14}, \frac{25 + \sqrt{429}}{14})$

Schritt 18