Finite Mathematik Beispiele

$\frac{3370}{3000} = \frac{5000 {(1 + r)}^{2}}{5000}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5000 {(1 + r)}^{2}}{5000} = \frac{3370}{3000}$ um.

$\frac{5000 {(1 + r)}^{2}}{5000} = \frac{3370}{3000}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5000$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5000 {(1 + r)}^{2}}{5000} = \frac{3370}{3000}$

Schritt 2.2

Dividiere ${(1 + r)}^{2}$ durch $1$ .

${(1 + r)}^{2} = \frac{3370}{3000}$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3370}{3000}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $10$ aus $3370$ heraus.

${(1 + r)}^{2} = \frac{10 (337)}{3000}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $10$ aus $3000$ heraus.

${(1 + r)}^{2} = \frac{10 \cdot 337}{10 \cdot 300}$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + r)}^{2} = \frac{10 \cdot 337}{10 \cdot 300}$

Schritt 3.1.4

Forme den Ausdruck um.

${(1 + r)}^{2} = \frac{337}{300}$

Schritt 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 + r = \pm \sqrt{\frac{337}{300}}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{337}{300}}$ .

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Schritt 3.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{337}{300}}$ als $\frac{\sqrt{337}}{\sqrt{300}}$ um.

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337}}{\sqrt{300}}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.2.1

Schreibe $300$ als $10^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 3.3.2.1.1

Faktorisiere $100$ aus $300$ heraus.

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337}}{\sqrt{100 (3)}}$

Schritt 3.3.2.1.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337}}{\sqrt{10^{2} \cdot 3}}$

Schritt 3.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337}}{10 \sqrt{3}}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{337}}{10 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337}}{10 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{337}}{10 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337} \sqrt{3}}{10 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.3.4.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337} \sqrt{3}}{10 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 3.3.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337} \sqrt{3}}{10 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Schritt 3.3.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337} \sqrt{3}}{10 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Schritt 3.3.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337} \sqrt{3}}{10 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.3.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337} \sqrt{3}}{10 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.3.4.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.3.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337} \sqrt{3}}{10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337} \sqrt{3}}{10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337} \sqrt{3}}{10 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337} \sqrt{3}}{10 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.3.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337} \sqrt{3}}{10 \cdot 3^{1}}$

Schritt 3.3.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337} \sqrt{3}}{10 \cdot 3}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{337 \cdot 3}}{10 \cdot 3}$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $337$ mit $3$ .

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{1011}}{10 \cdot 3}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$1 + r = \pm \frac{\sqrt{1011}}{30}$

Schritt 3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$1 + r = \frac{\sqrt{1011}}{30}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = \frac{\sqrt{1011}}{30} - 1$

Schritt 3.4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$1 + r = - \frac{\sqrt{1011}}{30}$

Schritt 3.4.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r = - \frac{\sqrt{1011}}{30} - 1$

Schritt 3.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{\sqrt{1011}}{30} - 1, - \frac{\sqrt{1011}}{30} - 1$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$r = \frac{\sqrt{1011}}{30} - 1, - \frac{\sqrt{1011}}{30} - 1$

Dezimalform:

$r = 0.05987420 \dots, - 2.05987420 \dots$