Gib eine Aufgabe ein ...
Finite Mathematik Beispiele
Schritt 1
Schritt 1.1
Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.
Schritt 1.2
Löse die Ungleichung.
Schritt 1.2.1
Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit und auflösen.
Schritt 1.2.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.3
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.4
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 1.2.4.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.4.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 1.2.4.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.2.4.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.4.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.4.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 1.2.4.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.2.5
Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.
Schritt 1.2.6
Fasse die Lösungen zusammen.
Schritt 1.2.7
Bestimme den Definitionsbereich von .
Schritt 1.2.7.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.2.7.2
Löse nach auf.
Schritt 1.2.7.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.2.7.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 1.2.7.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.2.7.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 1.2.7.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.2.7.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.2.7.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.2.7.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 1.2.7.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.2.7.3
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 1.2.8
Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.
Schritt 1.2.9
Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
Schritt 1.2.9.1
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.2.9.1.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.2.9.1.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.2.9.1.3
Die linke Seite ist größer als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 1.2.9.2
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.2.9.2.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.2.9.2.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.2.9.2.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 1.2.9.3
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.2.9.3.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.2.9.3.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.2.9.3.3
Die linke Seite ist größer als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 1.2.9.4
Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.
Wahr
Falsch
Wahr
Wahr
Falsch
Wahr
Schritt 1.2.10
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
oder
oder
Schritt 1.3
Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem nicht negativ ist.
Schritt 1.4
Bestimme den Definitionsbereich von und ermittle die Schnittmenge mit .
Schritt 1.4.1
Bestimme den Definitionsbereich von .
Schritt 1.4.1.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.4.1.2
Löse nach auf.
Schritt 1.4.1.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.4.1.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 1.4.1.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.4.1.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 1.4.1.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.4.1.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.4.1.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.4.1.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 1.4.1.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.4.1.3
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 1.4.2
Bestimme die Schnittmenge von und .
Schritt 1.5
Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.
Schritt 1.6
Löse die Ungleichung.
Schritt 1.6.1
Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit und auflösen.
Schritt 1.6.2
Addiere zu beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.6.3
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.6.4
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 1.6.4.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.6.4.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 1.6.4.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.6.4.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.6.4.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.6.4.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 1.6.4.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.6.5
Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.
Schritt 1.6.6
Fasse die Lösungen zusammen.
Schritt 1.6.7
Bestimme den Definitionsbereich von .
Schritt 1.6.7.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.6.7.2
Löse nach auf.
Schritt 1.6.7.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.6.7.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 1.6.7.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.6.7.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 1.6.7.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.6.7.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.6.7.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.6.7.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 1.6.7.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.6.7.3
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 1.6.8
Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.
Schritt 1.6.9
Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
Schritt 1.6.9.1
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.6.9.1.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.6.9.1.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.6.9.1.3
Die linke Seite ist nicht kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 1.6.9.2
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.6.9.2.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.6.9.2.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.6.9.2.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 1.6.9.3
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.6.9.3.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 1.6.9.3.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 1.6.9.3.3
Die linke Seite ist nicht kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 1.6.9.4
Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.
Falsch
Wahr
Falsch
Falsch
Wahr
Falsch
Schritt 1.6.10
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
Schritt 1.7
Entferne den Absolutwert und multipliziere mit in dem Teil, in dem negativ ist.
Schritt 1.8
Bestimme den Definitionsbereich von und ermittle die Schnittmenge mit .
Schritt 1.8.1
Bestimme den Definitionsbereich von .
Schritt 1.8.1.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 1.8.1.2
Löse nach auf.
Schritt 1.8.1.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 1.8.1.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 1.8.1.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 1.8.1.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 1.8.1.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 1.8.1.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 1.8.1.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 1.8.1.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 1.8.1.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 1.8.1.3
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 1.8.2
Bestimme die Schnittmenge von und .
Schritt 1.9
Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.
Schritt 2
Schritt 2.1
Löse nach auf.
Schritt 2.1.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Ungleichung.
Schritt 2.1.2
Vereinfache .
Schritt 2.1.2.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 2.1.2.2
Kombiniere und .
Schritt 2.1.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2.1.2.4
Vereinfache den Zähler.
Schritt 2.1.2.4.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 2.1.2.4.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.4.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 2.1.2.4.4
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.2.4.5
Subtrahiere von .
Schritt 2.1.2.5
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.2.6
Schreibe als um.
Schritt 2.1.2.7
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 2.1.2.8
Schreibe als um.
Schritt 2.1.2.9
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.1.3
Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit und auflösen.
Schritt 2.1.4
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.1.5
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.1.6
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 2.1.6.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.1.6.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 2.1.6.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.1.6.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.1.6.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.1.6.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 2.1.6.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.1.7
Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.
Schritt 2.1.8
Fasse die Lösungen zusammen.
Schritt 2.1.9
Bestimme den Definitionsbereich von .
Schritt 2.1.9.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 2.1.9.2
Löse nach auf.
Schritt 2.1.9.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2.1.9.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 2.1.9.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 2.1.9.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 2.1.9.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 2.1.9.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 2.1.9.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 2.1.9.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 2.1.9.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 2.1.9.3
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 2.1.10
Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.
Schritt 2.1.11
Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
Schritt 2.1.11.1
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 2.1.11.1.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 2.1.11.1.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 2.1.11.1.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 2.1.11.2
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 2.1.11.2.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 2.1.11.2.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 2.1.11.2.3
Die linke Seite ist nicht kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 2.1.11.3
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 2.1.11.3.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 2.1.11.3.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 2.1.11.3.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 2.1.11.4
Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.
Wahr
Falsch
Wahr
Wahr
Falsch
Wahr
Schritt 2.1.12
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
oder
oder
Schritt 2.2
Bestimme die Schnittmenge von und .
oder
oder
Schritt 3
Schritt 3.1
Löse nach auf.
Schritt 3.1.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Ungleichung.
Schritt 3.1.2
Vereinfache .
Schritt 3.1.2.1
Um als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit .
Schritt 3.1.2.2
Kombiniere und .
Schritt 3.1.2.3
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 3.1.2.4
Vereinfache den Zähler.
Schritt 3.1.2.4.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 3.1.2.4.2
Addiere und .
Schritt 3.1.2.4.3
Addiere und .
Schritt 3.1.2.5
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.1.3
Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit und auflösen.
Schritt 3.1.4
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.1.5
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 3.1.5.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.1.5.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 3.1.5.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 3.1.5.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.5.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.1.5.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 3.1.5.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.1.6
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.1.7
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 3.1.7.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.1.7.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 3.1.7.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 3.1.7.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.7.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.1.7.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 3.1.7.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.1.8
Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.
Schritt 3.1.9
Fasse die Lösungen zusammen.
Schritt 3.1.10
Bestimme den Definitionsbereich von .
Schritt 3.1.10.1
Setze den Nenner in gleich , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.
Schritt 3.1.10.2
Löse nach auf.
Schritt 3.1.10.2.1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 3.1.10.2.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
Schritt 3.1.10.2.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 3.1.10.2.2.2
Vereinfache die linke Seite.
Schritt 3.1.10.2.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Schritt 3.1.10.2.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 3.1.10.2.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 3.1.10.2.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
Schritt 3.1.10.2.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 3.1.10.3
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von , für die der Ausdruck definiert ist.
Schritt 3.1.11
Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.
Schritt 3.1.12
Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.
Schritt 3.1.12.1
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 3.1.12.1.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 3.1.12.1.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 3.1.12.1.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 3.1.12.2
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 3.1.12.2.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 3.1.12.2.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 3.1.12.2.3
Die linke Seite ist nicht kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.
False
False
Schritt 3.1.12.3
Teste einen Wert im Intervall , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.
Schritt 3.1.12.3.1
Wähle einen Wert aus dem Intervall und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.
Schritt 3.1.12.3.2
Ersetze durch in der ursprünglichen Ungleichung.
Schritt 3.1.12.3.3
Die linke Seite ist kleiner als die rechte Seite , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.
True
True
Schritt 3.1.12.4
Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.
Wahr
Falsch
Wahr
Wahr
Falsch
Wahr
Schritt 3.1.13
Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.
oder
oder
Schritt 3.2
Bestimme die Schnittmenge von und .
Schritt 4
Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.
oder
Schritt 5
Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.
Ungleichungsform:
Intervallschreibweise:
Schritt 6