Finite Mathematik Beispiele

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 5}{x^{2} + 6} < 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{4} - x^{2} - 5 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

Schritt 2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - u - 5 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Addiere $1$ und $20$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}, \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 2.79128784$

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 2.79128784$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2.79128784}$

Schritt 9.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2.79128784}$

Schritt 9.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2.79128784}$

Schritt 9.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 1.79128784$

Schritt 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.79128784}$

Schritt 11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 1.79128784}$ .

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Schritt 11.3.1

Schreibe $- 1.79128784$ als $- 1 (1.79128784)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.79128784)}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (1.79128784)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$

Schritt 11.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{1.79128784}$

Schritt 11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{1.79128784}$

Schritt 11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{1.79128784}$

Schritt 11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Schritt 12

Die Lösung von $x^{4} - x^{2} - 5 = 0$ ist $x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$ .

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

Schritt 13

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 6$

Schritt 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Schritt 15

Vereinfache $\pm \sqrt{- 6}$ .

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Schritt 15.1

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Schritt 15.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (6)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Schritt 15.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{6}$

Schritt 16

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 16.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{6}$

Schritt 16.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{6}$

Schritt 16.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Schritt 17

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Schritt 18

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

Schritt 19

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \sqrt{2.79128784}$

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$

$x > \sqrt{2.79128784}$

Schritt 20

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 20.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \sqrt{2.79128784}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 20.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \sqrt{2.79128784}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 20.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{{(- 4)}^{4} - {(- 4)}^{2} - 5}{{(- 4)}^{2} + 6} < 0$

Schritt 20.1.3

Die linke Seite $- 10.6\overline{81}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 20.2

Teste einen Wert im Intervall $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 20.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 20.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{{(0)}^{4} - {(0)}^{2} - 5}{{(0)}^{2} + 6} < 0$

Schritt 20.2.3

Die linke Seite $0.8\overline{3}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 20.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \sqrt{2.79128784}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 20.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \sqrt{2.79128784}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 20.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- \frac{{(4)}^{4} - {(4)}^{2} - 5}{{(4)}^{2} + 6} < 0$

Schritt 20.3.3

Die linke Seite $- 10.6\overline{81}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 20.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Wahr

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Falsch

$x > \sqrt{2.79128784}$ Wahr

$x < - \sqrt{2.79128784}$ Wahr

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ Falsch

$x > \sqrt{2.79128784}$ Wahr

Schritt 21

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \sqrt{2.79128784}$ oder $x > \sqrt{2.79128784}$

Schritt 22

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \sqrt{2.79128784} or x > \sqrt{2.79128784}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \sqrt{2.79128784}) \cup (\sqrt{2.79128784}, \infty)$

Schritt 23