Finite Mathematik Beispiele

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} > 1$

Schritt 1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

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Schritt 2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1 \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} + \frac{- (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (x) - (\sin (x) + 1)}{\sin (x) + 1} > 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x) - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $\sin (x)$ von $\sin (x)$ .

$\frac{0 - 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Schritt 2.4.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1}{\sin (x) + 1} > 0$

Schritt 2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\sin (x) + 1} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 5

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 7

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 8.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 9.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 10

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 10.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 10.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 10.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 10.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 10.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 10.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 11

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 12

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1} - 1$ .

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Schritt 13.1

Setze den Nenner in $\frac{\sin (x)}{\sin (x) + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 13.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 13.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 13.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 13.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 13.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 13.2.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 13.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 13.2.6

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 13.2.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 13.2.6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 13.2.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 13.2.6.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 13.2.7

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 13.2.7.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{2}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 13.2.7.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 13.2.7.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.2.7.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 13.2.7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 13.2.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.7.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Schritt 13.2.7.4.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Schritt 13.2.7.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 13.2.8

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13.2.9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq \frac{3 π}{2} + 2 π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 14

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

Schritt 15

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 15.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 15.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 15.1.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{\sin (8)}{\sin (8) + 1} > 1$

Schritt 15.1.3

Die linke Seite $0.49732533$ ist nicht größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 15.2

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Falsch

Schritt 16

Da es kein Zahlen gibt, die in das Intervall fallen, hat die Ungleichung keine Lösung.

Keine Lösung