Finite Mathematik Beispiele

$\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x + 119) = 4$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 1) (x + 119)) = 4$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x - 1) (x + 119)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x (x + 119) - 1 (x + 119)) = 4$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 119 - 1 (x + 119)) = 4$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 119 - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 119 - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $119$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 119) = 4$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\log_{5} (x^{2} + 119 x - x - 1 \cdot 119) = 4$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $119$ .

$\log_{5} (x^{2} + 119 x - x - 119) = 4$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $x$ von $119 x$ .

$\log_{5} (x^{2} + 118 x - 119) = 4$

Schritt 2

Schreibe $\log_{5} (x^{2} + 118 x - 119) = 4$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$5^{4} = x^{2} + 118 x - 119$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} + 118 x - 119 = 5^{4}$ um.

$x^{2} + 118 x - 119 = 5^{4}$

Schritt 3.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$x^{2} + 118 x - 119 = 625$

Schritt 3.3

Subtrahiere $625$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 118 x - 119 - 625 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $625$ von $- 119$ .

$x^{2} + 118 x - 744 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $x^{2} + 118 x - 744$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 744$ und deren Summe $118$ ist.

$- 6, 124$

Schritt 3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 124) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 124 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.8

Setze $x + 124$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x + 124$ gleich $0$ .

$x + 124 = 0$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $124$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 124$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 124) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 124$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{5} (x - 1) + \log_{5} (x + 119) = 4$ nicht erfüllen.

$x = 6$