Finite Mathematik Beispiele

$\log (x^{2} - 1) - \log (x - 1) = 1$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = 1$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1}) = 1$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

Schritt 1.3.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$\log (x + 1) = 1$

Schritt 2

Schreibe $\log (x + 1) = 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x + 1$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $x + 1 = 10^{1}$ um.

$x + 1 = 10$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10 - 1$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$x = 9$