Finite Mathematik Beispiele

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sec (x)$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 1.1.1

Um $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \sec (x)$

Schritt 1.1.2

Um $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} = \sec (x)$

Schritt 1.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)} = \sec (x)$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ um.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} - \frac{\sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 1.1.5.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.4

Multipliziere $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Schritt 1.1.5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.4.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.4.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.5

Schreibe $\cos^{2} (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.1.5.5.1

Ordne Terme um.

$\frac{- \sin (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.5.2

Ordne Terme um.

$\frac{- \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.5.5.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{- \sin (x) + 1}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- \sin (x) + 1$ und $1 - \sin (x)$ .

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Schritt 1.1.6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} = \sec (x)$

Schritt 1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\cos (x)} = \sec (x)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \cos (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 1$

Schritt 6

Da $1 = 1$ , wird die Gleichung immer erfüllt sein für jeden Wert von $x$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Alle reellen Zahlen

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$