Finite Mathematik Beispiele

$4 x^{2} + 4 x - 1 > 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$4 x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 4$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.3

Addiere $16$ und $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{2}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 1 > 0$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $47$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(0)}^{2} + 4 (0) - 1 > 0$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$4 {(3)}^{2} + 4 (3) - 1 > 0$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $47$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ Wahr

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Falsch

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Wahr

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ Wahr

$- \frac{1 + \sqrt{2}}{2} < x < - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Falsch

$x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ Wahr

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ oder $x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \frac{1 + \sqrt{2}}{2} or x > - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1 + \sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, \infty)$

Schritt 10