Finite Mathematik Beispiele

$\frac{4 z^{6} + 7 x^{3} - 65}{z^{3}} = 0$

Schritt 1

Setze den Zähler gleich Null.

$4 z^{6} + 7 x^{3} - 65 = 0$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $7 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 z^{6} - 65 = - 7 x^{3}$

Schritt 2.1.2

Addiere $65$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 z^{6} = - 7 x^{3} + 65$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 z^{6} = - 7 x^{3} + 65$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 z^{6} = - 7 x^{3} + 65$ durch $4$ .

$\frac{4 z^{6}}{4} = \frac{- 7 x^{3}}{4} + \frac{65}{4}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 z^{6}}{4} = \frac{- 7 x^{3}}{4} + \frac{65}{4}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $z^{6}$ durch $1$ .

$z^{6} = \frac{- 7 x^{3}}{4} + \frac{65}{4}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z^{6} = - \frac{7 x^{3}}{4} + \frac{65}{4}$

Schritt 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt[6]{- \frac{7 x^{3}}{4} + \frac{65}{4}}$

Schritt 2.4

Vereinfache $\pm \sqrt[6]{- \frac{7 x^{3}}{4} + \frac{65}{4}}$ .

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Schritt 2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z = \pm \sqrt[6]{\frac{- 7 x^{3} + 65}{4}}$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\sqrt[6]{\frac{- 7 x^{3} + 65}{4}}$ als $\frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[6]{4}}$ um.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[6]{4}}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[6]{2^{2}}}$

Schritt 2.4.3.2

Schreibe $\sqrt[6]{2^{2}}$ als $\sqrt[3]{\sqrt{2^{2}}}$ um.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[3]{\sqrt{2^{2}}}}$

Schritt 2.4.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.5.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 2.4.5.4

Addiere $1$ und $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 2.4.5.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 2.4.5.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 2.4.5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.4.5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.4.5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.4.5.5.5

Berechne den Exponenten.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 2.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.6.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 2.4.6.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} \sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 2.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.7.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $6$ .

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Schritt 2.4.7.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Schritt 2.4.7.1.2

Schreibe $4^{\frac{1}{3}}$ als $4^{\frac{2}{6}}$ um.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} \cdot 4^{\frac{2}{6}}}{2}$

Schritt 2.4.7.1.3

Schreibe $4^{\frac{2}{6}}$ als $\sqrt[6]{4^{2}}$ um.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{- 7 x^{3} + 65} \sqrt[6]{4^{2}}}{2}$

Schritt 2.4.7.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{(- 7 x^{3} + 65) \cdot 4^{2}}}{2}$

Schritt 2.4.7.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{(- 7 x^{3} + 65) \cdot 16}}{2}$

Schritt 2.4.8

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt[6]{(- 7 x^{3} + 65) \cdot 16}}{2}$ um.

$z = \pm \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

Schritt 2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

Schritt 2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

Schritt 2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

$z = - \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

$z = \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

$z = - \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

$z = \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$

$z = - \frac{\sqrt[6]{16 (- 7 x^{3} + 65)}}{2}$