Finite Mathematik Beispiele

$\frac{2 x + 3}{3 x - 7} > 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x + 3 = 0$

$3 x - 7 = 0$

Schritt 2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 3$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 4

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 7$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{7}{3}$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{2 x + 3}{3 x - 7}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x + 3}{3 x - 7}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x - 7 = 0$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 7$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$

$x > \frac{7}{3}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (- 4) + 3}{3 (- 4) - 7} > 0$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $0.26315789$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (0) + 3}{3 (0) - 7} > 0$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $- 0.\overline{428571}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{7}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{7}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{2 (5) + 3}{3 (5) - 7} > 0$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $1.625$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{3}{2}$ Wahr

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ Falsch

$x > \frac{7}{3}$ Wahr

$x < - \frac{3}{2}$ Wahr

$- \frac{3}{2} < x < \frac{7}{3}$ Falsch

$x > \frac{7}{3}$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{3}{2}$ oder $x > \frac{7}{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - \frac{3}{2} or x > \frac{7}{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Schritt 13