Finite Mathematik Beispiele

$6 x + 8 y = 40$ , $8 x + 4 y = 32$

Schritt 1

Löse in $6 x + 8 y = 40$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $8 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x = 40 - 8 y$

$8 x + 4 y = 32$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 40 - 8 y$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = 40 - 8 y$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{40}{6} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{40}{6} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{40}{6} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{40}{6} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{40}{6} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $6$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{2 (20)}{6} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 3} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 3} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Schritt 1.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{20}{3} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} + \frac{- 8 y}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 8$ und $6$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 y$ heraus.

$x = \frac{20}{3} + \frac{2 (- 4 y)}{6}$

$8 x + 4 y = 32$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{20}{3} + \frac{2 (- 4 y)}{2 (3)}$

$8 x + 4 y = 32$

Schritt 1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{20}{3} + \frac{2 (- 4 y)}{2 \cdot 3}$

$8 x + 4 y = 32$

Schritt 1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{20}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} + \frac{- 4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

Schritt 1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$8 x + 4 y = 32$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $8 x + 4 y = 32$ durch $\frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$ .

$8 (\frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}) + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $8 (\frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}) + 4 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (\frac{20}{3}) + 8 (- \frac{4 y}{3}) + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $8 (\frac{20}{3})$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kombiniere $8$ und $\frac{20}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 20}{3} + 8 (- \frac{4 y}{3}) + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $20$ .

$\frac{160}{3} + 8 (- \frac{4 y}{3}) + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{160}{3} + 8 (- \frac{4 y}{3}) + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $8 (- \frac{4 y}{3})$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{160}{3} - 8 \frac{4 y}{3} + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{4 y}{3}$ .

$\frac{160}{3} + \frac{- 8 (4 y)}{3} + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$\frac{160}{3} + \frac{- 32 y}{3} + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{160}{3} + \frac{- 32 y}{3} + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{160}{3} - \frac{32 y}{3} + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{160}{3} - \frac{32 y}{3} + 4 y = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Um $4 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{160}{3} - \frac{32 y}{3} + 4 y \cdot \frac{3}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $4 y$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{160}{3} - \frac{32 y}{3} + \frac{4 y \cdot 3}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{160}{3} + \frac{- 32 y + 4 y \cdot 3}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{160 - 32 y + 4 y \cdot 3}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{160 - 32 y + 12 y}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.7

Addiere $- 32 y$ und $12 y$ .

$\frac{160 - 20 y}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.8

Faktorisiere $20$ aus $160 - 20 y$ heraus.

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Schritt 2.2.1.8.1

Faktorisiere $20$ aus $160$ heraus.

$\frac{20 (8) - 20 y}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.8.2

Faktorisiere $20$ aus $- 20 y$ heraus.

$\frac{20 (8) + 20 (- y)}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 2.2.1.8.3

Faktorisiere $20$ aus $20 (8) + 20 (- y)$ heraus.

$\frac{20 (8 - y)}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{20 (8 - y)}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{20 (8 - y)}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{20 (8 - y)}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$\frac{20 (8 - y)}{3} = 32$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3

Löse in $\frac{20 (8 - y)}{3} = 32$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{20 (8 - y)}{3} \cdot 3 = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{20 (8 - y)}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 (8 - y)}{3} \cdot 3 = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$20 (8 - y) = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$20 (8 - y) = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$20 \cdot 8 + 20 (- y) = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $20$ mit $8$ .

$160 + 20 (- y) = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $20$ .

$160 - 20 y = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3.3

Stelle $160$ und $- 20 y$ um.

$- 20 y + 160 = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 20 y + 160 = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 20 y + 160 = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 20 y + 160 = 32 \cdot 3$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $32$ mit $3$ .

$- 20 y + 160 = 96$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 20 y + 160 = 96$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 20 y + 160 = 96$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $160$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 20 y = 96 - 160$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $160$ von $96$ .

$- 20 y = - 64$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$- 20 y = - 64$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 20 y = - 64$ durch $- 20$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 20 y = - 64$ durch $- 20$ .

$\frac{- 20 y}{- 20} = \frac{- 64}{- 20}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 20$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 20 y}{- 20} = \frac{- 64}{- 20}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 64}{- 20}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 64}{- 20}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{- 64}{- 20}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 64$ und $- 20$ .

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Schritt 3.3.2.3.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 64$ heraus.

$y = \frac{- 4 \cdot 16}{- 20}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 20$ heraus.

$y = \frac{- 4 \cdot 16}{- 4 \cdot 5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 4 \cdot 16}{- 4 \cdot 5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{16}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{20}{3} - \frac{4 y}{3}$ durch $\frac{16}{5}$ .

$x = \frac{20}{3} - \frac{4 (\frac{16}{5})}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{20}{3} - \frac{4 (\frac{16}{5})}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{20 - 4 (\frac{16}{5})}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.2.1

Multipliziere $- 4 (\frac{16}{5})$ .

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{16}{5}$ .

$x = \frac{20 + \frac{- 4 \cdot 16}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $16$ .

$x = \frac{20 + \frac{- 64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20 + \frac{- 64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 4.2.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{20 - \frac{64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{20 - \frac{64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 4.2.1.3

Um $20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$x = \frac{20 \cdot \frac{5}{5} - \frac{64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 4.2.1.4

Kombiniere $20$ und $\frac{5}{5}$ .

$x = \frac{\frac{20 \cdot 5}{5} - \frac{64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\frac{20 \cdot 5 - 64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 4.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.6.1

Mutltipliziere $20$ mit $5$ .

$x = \frac{\frac{100 - 64}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 4.2.1.6.2

Subtrahiere $64$ von $100$ .

$x = \frac{\frac{36}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{\frac{36}{5}}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 4.2.1.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{36}{5} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 4.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.8.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$x = \frac{3 (12)}{5} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 4.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 12}{5} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 4.2.1.8.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{16}{5}$

$x = \frac{12}{5}$

$y = \frac{16}{5}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{12}{5}, \frac{16}{5})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{12}{5}, \frac{16}{5})$

Gleichungsform:

$x = \frac{12}{5}, y = \frac{16}{5}$

Schritt 7