Finite Mathematik Beispiele

$5 x + 3 y = 15$ , $4 x - 3 y = 12$

Schritt 1

Löse in $5 x + 3 y = 15$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 15 - 3 y$

$4 x - 3 y = 12$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 15 - 3 y$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 15 - 3 y$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{15}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$4 x - 3 y = 12$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{15}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$4 x - 3 y = 12$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{15}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$4 x - 3 y = 12$

$x = \frac{15}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$4 x - 3 y = 12$

$x = \frac{15}{5} + \frac{- 3 y}{5}$

$4 x - 3 y = 12$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $15$ durch $5$ .

$x = 3 + \frac{- 3 y}{5}$

$4 x - 3 y = 12$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$4 x - 3 y = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$4 x - 3 y = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$4 x - 3 y = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$4 x - 3 y = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$4 x - 3 y = 12$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $3 - \frac{3 y}{5}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $4 x - 3 y = 12$ durch $3 - \frac{3 y}{5}$ .

$4 (3 - \frac{3 y}{5}) - 3 y = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $4 (3 - \frac{3 y}{5}) - 3 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 3 + 4 (- \frac{3 y}{5}) - 3 y = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12 + 4 (- \frac{3 y}{5}) - 3 y = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $4 (- \frac{3 y}{5})$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$12 - 4 \frac{3 y}{5} - 3 y = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3 y}{5}$ .

$12 + \frac{- 4 (3 y)}{5} - 3 y = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$12 + \frac{- 12 y}{5} - 3 y = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$12 + \frac{- 12 y}{5} - 3 y = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 - \frac{12 y}{5} - 3 y = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$12 - \frac{12 y}{5} - 3 y = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.2

Um $- 3 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$12 - \frac{12 y}{5} - 3 y \cdot \frac{5}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $- 3 y$ und $\frac{5}{5}$ .

$12 - \frac{12 y}{5} + \frac{- 3 y \cdot 5}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$12 + \frac{- 12 y - 3 y \cdot 5}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$12 + \frac{- 12 y - 3 y \cdot 5}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $3 y$ aus $- 12 y - 3 y \cdot 5$ heraus.

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Schritt 2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $3 y$ aus $- 12 y$ heraus.

$12 + \frac{3 y (- 4) - 3 y \cdot 5}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $3 y$ aus $- 3 y \cdot 5$ heraus.

$12 + \frac{3 y (- 4) + 3 y (- 1 \cdot 5)}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y (- 4) + 3 y (- 1 \cdot 5)$ heraus.

$12 + \frac{3 y (- 4 - 1 \cdot 5)}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$12 + \frac{3 y (- 4 - 1 \cdot 5)}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$12 + \frac{3 y (- 4 - 5)}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.4.1.3

Subtrahiere $5$ von $- 4$ .

$12 + \frac{3 y \cdot - 9}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.4.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $3$ .

$12 + \frac{- 27 y}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$12 + \frac{- 27 y}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 2.2.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$12 - \frac{27 y}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$12 - \frac{27 y}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$12 - \frac{27 y}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$12 - \frac{27 y}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$12 - \frac{27 y}{5} = 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3

Löse in $12 - \frac{27 y}{5} = 12$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{27 y}{5} = 12 - 12$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$- \frac{27 y}{5} = 0$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$- \frac{27 y}{5} = 0$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$27 y = 0$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $27 y = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 y = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 y}{27} = \frac{0}{27}$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 y}{27} = \frac{0}{27}$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{0}{27}$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{0}{27}$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{0}{27}$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$y = 0$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$y = 0$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$y = 0$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

$y = 0$

$x = 3 - \frac{3 y}{5}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 3 - \frac{3 y}{5}$ durch $0$ .

$x = 3 - \frac{3 (0)}{5}$

$y = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $3 - \frac{3 (0)}{5}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $3 (0)$ heraus.

$x = 3 - \frac{5 (3 \cdot (0))}{5}$

$y = 0$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$x = 3 - \frac{5 (3 \cdot (0))}{5 (1)}$

$y = 0$

Schritt 4.2.1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 - \frac{5 (3 \cdot (0))}{5 \cdot 1}$

$y = 0$

Schritt 4.2.1.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 - \frac{3 \cdot (0)}{1}$

$y = 0$

Schritt 4.2.1.1.1.2.4

Dividiere $3 \cdot (0)$ durch $1$ .

$x = 3 - (3 \cdot (0))$

$y = 0$

$x = 3 - (3 \cdot (0))$

$y = 0$

$x = 3 - (3 \cdot (0))$

$y = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Multipliziere $- (3 \cdot (0))$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$x = 3 - 0$

$y = 0$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$x = 3 + 0$

$y = 0$

$x = 3 + 0$

$y = 0$

$x = 3 + 0$

$y = 0$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $3$ und $0$ .

$x = 3$

$y = 0$

$x = 3$

$y = 0$

$x = 3$

$y = 0$

$x = 3$

$y = 0$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(3, 0)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(3, 0)$

Gleichungsform:

$x = 3, y = 0$

Schritt 7