Finite Mathematik Beispiele

$3 x + 2 y = 5$ , $6 x - 2 y = 5$

Schritt 1

Löse in $3 x + 2 y = 5$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 5 - 2 y$

$6 x - 2 y = 5$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5 - 2 y$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5 - 2 y$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} + \frac{- 2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$6 x - 2 y = 5$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $6 x - 2 y = 5$ durch $\frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$ .

$6 (\frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $6 (\frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}) - 2 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (\frac{5}{3}) + 6 (- \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 (2) (\frac{5}{3}) + 6 (- \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot (2 (\frac{5}{3})) + 6 (- \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 5 + 6 (- \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$2 \cdot 5 + 6 (- \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$10 + 6 (- \frac{2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 y}{3}$ in den Zähler.

$10 + 6 (\frac{- 2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$10 + 3 (2) (\frac{- 2 y}{3}) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 + 3 \cdot (2 (\frac{- 2 y}{3})) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$10 + 2 (- 2 y) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 + 2 (- 2 y) - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$10 - 4 y - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 - 4 y - 2 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $2 y$ von $- 4 y$ .

$10 - 6 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 - 6 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 - 6 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$10 - 6 y = 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3

Löse in $10 - 6 y = 5$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 y = 5 - 10$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $10$ von $5$ .

$- 6 y = - 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$- 6 y = - 5$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 6 y = - 5$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 y = - 5$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{- 5}{- 6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{- 5}{- 6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 5}{- 6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 5}{- 6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 5}{- 6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{5}{6}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{5}{3} - \frac{2 y}{3}$ durch $\frac{5}{6}$ .

$x = \frac{5}{3} - \frac{2 (\frac{5}{6})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{5}{3} - \frac{2 (\frac{5}{6})}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{5 - 2 (\frac{5}{6})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$x = \frac{5 + 2 (- 1) (\frac{5}{6})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{5 + 2 \cdot (- 1 \frac{5}{2 \cdot 3})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{5 + 2 \cdot (- 1 \frac{5}{2 \cdot 3})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2.1.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5 - 1 (\frac{5}{3})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5 - 1 (\frac{5}{3})}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2.1.2.2

Schreibe $- 1 (\frac{5}{3})$ als $- (\frac{5}{3})$ um.

$x = \frac{5 - \frac{5}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5 - \frac{5}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2.1.3

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2.1.4

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{5}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\frac{5 \cdot 3 - 5}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.6.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$x = \frac{\frac{15 - 5}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2.1.6.2

Subtrahiere $5$ von $15$ .

$x = \frac{\frac{10}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{\frac{10}{3}}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2.1.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2.1.8

Multipliziere $\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.8.1

Mutltipliziere $\frac{10}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{10}{3 \cdot 3}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 4.2.1.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{10}{9}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{10}{9}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{10}{9}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{10}{9}$

$y = \frac{5}{6}$

$x = \frac{10}{9}$

$y = \frac{5}{6}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{10}{9}, \frac{5}{6})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{10}{9}, \frac{5}{6})$

Gleichungsform:

$x = \frac{10}{9}, y = \frac{5}{6}$

Schritt 7