Finite Mathematik Beispiele

$10 x + 10 z = 100$ , $5 y - 5 z = 50$ , $10 x - 5 y = 50$

Schritt 1

Löse in $10 x + 10 z = 100$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $10 z$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x = 100 - 10 z$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $10 x = 100 - 10 z$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x = 100 - 10 z$ durch $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{100}{10} + \frac{- 10 z}{10}$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x}{10} = \frac{100}{10} + \frac{- 10 z}{10}$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{100}{10} + \frac{- 10 z}{10}$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

$x = \frac{100}{10} + \frac{- 10 z}{10}$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

$x = \frac{100}{10} + \frac{- 10 z}{10}$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $100$ durch $10$ .

$x = 10 + \frac{- 10 z}{10}$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $10$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $10$ aus $- 10 z$ heraus.

$x = 10 + \frac{10 (- z)}{10}$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$x = 10 + \frac{10 (- z)}{10 (1)}$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

Schritt 1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 10 + \frac{10 (- z)}{10 \cdot 1}$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

Schritt 1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 10 + \frac{- z}{1}$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

Schritt 1.2.3.1.2.2.4

Dividiere $- z$ durch $1$ .

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

$10 x - 5 y = 50$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $10 - z$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $10 x - 5 y = 50$ durch $10 - z$ .

$10 (10 - z) - 5 y = 50$

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 \cdot 10 + 10 (- z) - 5 y = 50$

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$100 + 10 (- z) - 5 y = 50$

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$100 - 10 z - 5 y = 50$

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

$100 - 10 z - 5 y = 50$

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

$100 - 10 z - 5 y = 50$

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

$100 - 10 z - 5 y = 50$

$x = 10 - z$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 3

Stelle $10$ und $- z$ um.

$x = - z + 10$

$100 - 10 z - 5 y = 50$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 4

Löse in $100 - 10 z - 5 y = 50$ nach $z$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $z$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $100$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 z - 5 y = 50 - 100$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 4.1.2

Addiere $5 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 z = 50 - 100 + 5 y$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $100$ von $50$ .

$- 10 z = - 50 + 5 y$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

$- 10 z = - 50 + 5 y$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 10 z = - 50 + 5 y$ durch $- 10$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 10 z = - 50 + 5 y$ durch $- 10$ .

$\frac{- 10 z}{- 10} = \frac{- 50}{- 10} + \frac{5 y}{- 10}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 10$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 10 z}{- 10} = \frac{- 50}{- 10} + \frac{5 y}{- 10}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z = \frac{- 50}{- 10} + \frac{5 y}{- 10}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

$z = \frac{- 50}{- 10} + \frac{5 y}{- 10}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

$z = \frac{- 50}{- 10} + \frac{5 y}{- 10}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Dividiere $- 50$ durch $- 10$ .

$z = 5 + \frac{5 y}{- 10}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $- 10$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y$ heraus.

$z = 5 + \frac{5 (y)}{- 10}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 10$ heraus.

$z = 5 + \frac{5 y}{5 \cdot - 2}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 4.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$z = 5 + \frac{5 y}{5 \cdot - 2}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 4.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$z = 5 + \frac{y}{- 2}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

$z = 5 + \frac{y}{- 2}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

$z = 5 + \frac{y}{- 2}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 4.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$x = - z + 10$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $z$ durch $5 - \frac{y}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $z$ in $x = - z + 10$ durch $5 - \frac{y}{2}$ .

$x = - (5 - \frac{y}{2}) + 10$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- (5 - \frac{y}{2}) + 10$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot 5 + \frac{y}{2} + 10$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x = - 5 + \frac{y}{2} + 10$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 5.2.1.1.3

Multipliziere $- - \frac{y}{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = - 5 + 1 (\frac{y}{2}) + 10$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{y}{2}$ mit $1$ .

$x = - 5 + \frac{y}{2} + 10$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$5 y - 5 z = 50$

$x = - 5 + \frac{y}{2} + 10$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$5 y - 5 z = 50$

$x = - 5 + \frac{y}{2} + 10$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $- 5$ und $10$ .

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$5 y - 5 z = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$5 y - 5 z = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$5 y - 5 z = 50$

Schritt 5.3

Ersetze alle $z$ in $5 y - 5 z = 50$ durch $5 - \frac{y}{2}$ .

$5 y - 5 (5 - \frac{y}{2}) = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $5 y - 5 (5 - \frac{y}{2})$ .

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y - 5 \cdot 5 - 5 (- \frac{y}{2}) = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 5.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$5 y - 25 - 5 (- \frac{y}{2}) = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 5.4.1.1.3

Multipliziere $- 5 (- \frac{y}{2})$ .

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Schritt 5.4.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$5 y - 25 + 5 (\frac{y}{2}) = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 5.4.1.1.3.2

Kombiniere $5$ und $\frac{y}{2}$ .

$5 y - 25 + \frac{5 y}{2} = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$5 y - 25 + \frac{5 y}{2} = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$5 y - 25 + \frac{5 y}{2} = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 5.4.1.2

Um $5 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$5 y \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 y}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 5.4.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.4.1.3.1

Kombiniere $5 y$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5 y \cdot 2}{2} + \frac{5 y}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 5.4.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 y \cdot 2 + 5 y}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$\frac{5 y \cdot 2 + 5 y}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 5.4.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1.4.1

Faktorisiere $5 y$ aus $5 y \cdot 2 + 5 y$ heraus.

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Schritt 5.4.1.4.1.1

Faktorisiere $5 y$ aus $5 y \cdot 2$ heraus.

$\frac{5 y (2) + 5 y}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 5.4.1.4.1.2

Faktorisiere $5 y$ aus $5 y$ heraus.

$\frac{5 y (2) + 5 y (1)}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 5.4.1.4.1.3

Faktorisiere $5 y$ aus $5 y (2) + 5 y (1)$ heraus.

$\frac{5 y (2 + 1)}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$\frac{5 y (2 + 1)}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 5.4.1.4.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{5 y \cdot 3}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 5.4.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15 y}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$\frac{15 y}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$\frac{15 y}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$\frac{15 y}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$\frac{15 y}{2} - 25 = 50$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 6

Löse in $\frac{15 y}{2} - 25 = 50$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{15 y}{2} = 50 + 25$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.1.2

Addiere $50$ und $25$ .

$\frac{15 y}{2} = 75$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$\frac{15 y}{2} = 75$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{15}$ .

$\frac{2}{15} \cdot \frac{15 y}{2} = \frac{2}{15} \cdot 75$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{2}{15} \cdot \frac{15 y}{2}$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{15} \cdot \frac{15 y}{2} = \frac{2}{15} \cdot 75$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{15} \cdot (15 y) = \frac{2}{15} \cdot 75$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$\frac{1}{15} \cdot (15 y) = \frac{2}{15} \cdot 75$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Faktorisiere $15$ aus $15 y$ heraus.

$\frac{1}{15} \cdot (15 (y)) = \frac{2}{15} \cdot 75$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{15} \cdot (15 y) = \frac{2}{15} \cdot 75$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{2}{15} \cdot 75$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$y = \frac{2}{15} \cdot 75$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$y = \frac{2}{15} \cdot 75$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$y = \frac{2}{15} \cdot 75$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache $\frac{2}{15} \cdot 75$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Faktorisiere $15$ aus $75$ heraus.

$y = \frac{2}{15} \cdot (15 (5))$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2}{15} \cdot (15 \cdot 5)$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 \cdot 5$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$y = 2 \cdot 5$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$y = 10$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$y = 10$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$y = 10$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$y = 10$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$y = 10$

$x = \frac{y}{2} + 5$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $10$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{y}{2} + 5$ durch $10$ .

$x = \frac{10}{2} + 5$

$y = 10$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache $\frac{10}{2} + 5$ .

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Schritt 7.2.1.1

Dividiere $10$ durch $2$ .

$x = 5 + 5$

$y = 10$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Addiere $5$ und $5$ .

$x = 10$

$y = 10$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$x = 10$

$y = 10$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

$x = 10$

$y = 10$

$z = 5 - \frac{y}{2}$

Schritt 7.3

Ersetze alle $y$ in $z = 5 - \frac{y}{2}$ durch $10$ .

$z = 5 - \frac{10}{2}$

$x = 10$

$y = 10$

Schritt 7.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache $5 - \frac{10}{2}$ .

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Schritt 7.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.4.1.1.1

Dividiere $10$ durch $2$ .

$z = 5 - 1 \cdot 5$

$x = 10$

$y = 10$

Schritt 7.4.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$z = 5 - 5$

$x = 10$

$y = 10$

$z = 5 - 5$

$x = 10$

$y = 10$

Schritt 7.4.1.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$z = 0$

$x = 10$

$y = 10$

$z = 0$

$x = 10$

$y = 10$

$z = 0$

$x = 10$

$y = 10$

$z = 0$

$x = 10$

$y = 10$

Schritt 8

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(10, 10, 0)$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(10, 10, 0)$

Gleichungsform:

$x = 10, y = 10, z = 0$