Finite Mathematik Beispiele

$5 x^{2} - 2 x + 13 = 18 x + 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $18 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} - 2 x + 13 - 18 x = 1$

Schritt 1.2

Subtrahiere $18 x$ von $- 2 x$ .

$5 x^{2} - 20 x + 13 = 1$

Schritt 2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} - 20 x + 13 - 1 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von $13$ .

$5 x^{2} - 20 x + 12 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 5$ , $b = - 20$ und $c = 12$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 12)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 12$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $12$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 240}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.3

Subtrahiere $240$ von $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $160$ als $4^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $160$ heraus.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{20 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{20 \pm 4 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 4 \sqrt{10}}{10}$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 12$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $12$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 240}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.3

Subtrahiere $240$ von $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $160$ als $4^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $160$ heraus.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{20 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{20 \pm 4 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 4 \sqrt{10}}{10}$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{10 + 2 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 20$ mit $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 5 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 12$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 20 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $12$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 240}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.3

Subtrahiere $240$ von $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $160$ als $4^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $160$ heraus.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{16 (10)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{20 \pm 4 \sqrt{10}}{2 \cdot 5}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{20 \pm 4 \sqrt{10}}{10}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{20 \pm 4 \sqrt{10}}{10}$ .

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{10 - 2 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{10 + 2 \sqrt{10}}{5}, \frac{10 - 2 \sqrt{10}}{5}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{10 + 2 \sqrt{10}}{5}, \frac{10 - 2 \sqrt{10}}{5}$

Dezimalform:

$x = 3.26491106 \dots, 0.73508893 \dots$